Với số nguyên dương $m$, gọi $S(m),P(m)$ lần lượt là tổng và tích các chữ số của $m$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại các số nguyên dương $a_1,\ldots,a_n$ sao cho
$$S(a_1)\lt S(a_2)\lt \cdots\lt S(a_n),\qquad S(a_i)=P(a_{i+1})\quad(1\le i\le n),$$
trong đó $a_{n+1}=a_1$.
Đề xuất bởi Ban ra đề của Quỹ Olympic Toán Nhật Bản.
Cho $S=\{1,2,\ldots,2014\}$. Với mỗi tập con khác rỗng $T\subseteq S$, chọn một phần tử làm đại diện. Đếm số cách chọn sao cho khi $D$ là hợp rời nhau của ba tập con khác rỗng $A,B,C$, đại diện của $D$ cũng là đại diện của ít nhất một trong $A,B,C$.
Với các số nguyên dương $n,b$, gọi $n$ là $b$-phân biệt nếu tồn tại một tập gồm $n$ số nguyên dương phân biệt nhỏ hơn $b$ sao cho các tập con khác nhau luôn có tổng khác nhau.
(a) Chứng minh 8 là 100-phân biệt.
(b) Chứng minh 9 không là 100-phân biệt.
Đề xuất bởi Ban bài toán cấp cao của Ủy ban Olympic Toán Australia.
Hai đường tròn $\omega,\Omega$ cắt nhau tại $A,B$. Gọi $M$ là trung điểm cung $AB$ của $\omega$ nằm trong $\Omega$. Một dây $MP$ của $\omega$ cắt $\Omega$ tại $Q$ nằm trong $\omega$. Gọi $\ell_P$ là tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$, $\ell_Q$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $Q$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi $\ell_P,\ell_Q,AB$ tiếp xúc với $\Omega$.
Đề xuất bởi Ilya Bogdanov, Nga, và Medeubek Kungozhin, Kazakhstan.
