Cho tam giác vuông $ABC$ với $\angle B=90^\circ$. Điểm $D$ nằm trên đường thẳng $CB$ sao cho $B$ nằm giữa $D,C$. Gọi $E$ là trung điểm $AD$, và $F$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp $ACD,BDE$. Chứng minh khi $D$ thay đổi, đường thẳng $EF$ đi qua một điểm cố định.
Làm rõ biên tập: $F$ là giao điểm thứ hai phân biệt, nên loại trường hợp $DB=BC$, khi hai đường tròn tiếp xúc tại $D$. Kết luận về điểm cố định áp dụng tại mọi vị trí được xác định. Cách viết nguồn được giữ ở trên; đường thẳng giới hạn tại vị trí bị loại được mô tả trong lời giải.
Tìm mọi số nguyên dương $k\lt 202$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn
$$\left\{\frac n{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac k2.$$
Ở đây $\{x\}$ là phần lẻ: số thực duy nhất trong $[0,1)$ có hiệu với $x$ là số nguyên.
Cho các số nguyên dương $n,k$. Có $n$ viên bi mang nhãn $1,\ldots,n$ và $k$ hộp. Ban đầu mọi viên bi nằm trong một hộp. Mỗi lượt Cathy chọn một hộp và chuyển viên bi có nhãn nhỏ nhất trong đó, gọi là $i$, sang một hộp rỗng hoặc sang hộp chứa viên bi $i+1$. Cathy thắng nếu có một hộp chỉ chứa viên bi $n$. Tìm mọi cặp $(n,k)$ mà Cathy có thể thắng.
