Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, và $D$ nằm trên cạnh $BC$. Tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $A$ cắt đường thẳng qua $D$ song song với $BA$ tại $E$. Đoạn $CE$ cắt lại $\Gamma$ tại $F$. Giả sử $B,D,F,E$ cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh $AC,BF,DE$ đồng quy.
Chứng minh $r=2$ là số thực lớn nhất có tính chất sau: nếu dãy số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ thỏa mãn
$$a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r a_{n+1}}$$
với mọi số nguyên dương $n$, thì tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{n+2}=a_n$ với mọi $n\ge M$.
Tìm mọi số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại số nguyên dương $m$ và tập $S$ các số nguyên dương, với tính chất mỗi số nguyên $n\gt m$ được viết thành tổng các phần tử phân biệt của $S$ theo đúng $k$ cách.
Gọi $\mathbb Z$ là tập các số nguyên. Tìm mọi đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho, với mọi dãy vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ chứa mỗi số nguyên đúng một lần, tồn tại các chỉ số $i\lt j$ và số nguyên $k$ thỏa mãn
$$a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j=P(k).$$
Cho số nguyên cố định $n\ge3$. Ban đầu trên bảng có $n$ số $1$, và hai chiếc thùng đều rỗng. Mỗi lượt xóa hai số $a,b$, thay bằng $1,a+b$, thêm một viên đá vào thùng thứ nhất và thêm $\gcd(a,b)$ viên vào thùng thứ hai. Sau hữu hạn lượt, hai thùng lần lượt có $s,t$ viên đá, với $s,t$ nguyên dương. Tìm mọi giá trị có thể của $t/s$.
