Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC\ne90^\circ$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$. Giả sử $\Gamma$ cắt đoạn $AB$ tại $P\ne B$ và đoạn $AC$ tại $Q\ne C$. Cho $ON$ là một đường kính của $\Gamma$. Chứng minh tứ giác $APNQ$ là hình bình hành.
Với số nguyên dương $k$, gọi một số nguyên là lũy thừa bậc $k$ nếu nó có dạng $m^k$ với một số nguyên $m$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt có tổng là lũy thừa bậc 2009 và tích là lũy thừa bậc 2010.
Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ người dự một bữa tiệc. Với mỗi cặp người, hoặc họ quen nhau, hoặc không quen nhau. Số cặp lớn nhất có thể gồm hai người không quen nhau nhưng có một người quen chung trong số những người dự tiệc là bao nhiêu?
Cho tam giác nhọn $ABC$ thỏa mãn $AB\gt BC$ và $AC\gt BC$. Gọi $O,H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm. Đường tròn ngoại tiếp $AHC$ cắt đường thẳng $AB$ lần nữa tại $M\ne A$; đường tròn ngoại tiếp $AHB$ cắt đường thẳng $AC$ lần nữa tại $N\ne A$. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$ nằm trên đường thẳng $OH$.
