APMO 2015 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ trên cạnh $BC$. Một đường thẳng qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và tia $AC$ tại $Y$. Đường tròn ngoại tiếp $BXD$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của $ABC$ tại $Z\ne B$. Các đường $ZD,ZY$ cắt lại $\omega$ lần lượt tại $V,W$. Chứng minh $AB=VW$.

Đề xuất bởi Warut Suksompong, Thái Lan.

Hình dựng bổ sung:



Quy ước biên tập: các đường tròn và giao điểm được nêu đều xác định; mỗi giao điểm thứ hai với đường tròn khác giao điểm đầu.

Cho $S=\{2,3,4,\ldots\}$. Có tồn tại hàm $f:S\to S$ sao cho với mọi $a,b\in S$ phân biệt,
$$f(a)f(b)=f(a^2b^2)$$
hay không?

Đề xuất bởi Angelo Di Pasquale, Australia.

Một dãy số thực $a_0,a_1,\ldots$ được gọi là tốt nếu:

(i) $a_0$ là số nguyên dương;

(ii) với mỗi số nguyên không âm $i$, hoặc $a_{i+1}=2a_i+1$, hoặc $a_{i+1}=a_i/(a_i+2)$;

(iii) có số nguyên dương $k$ sao cho $a_k=2014$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại một dãy tốt có $a_n=2014$.

Đề xuất bởi Wang Wei Hua, Hồng Kông.

Cho số nguyên dương $n$. Có $2n$ đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng, không có hai đường nào song song; $n$ đường màu xanh và $n$ đường màu đỏ. Gọi $B$ là tập các điểm thuộc ít nhất một đường xanh, $R$ là tập các điểm thuộc ít nhất một đường đỏ. Chứng minh tồn tại đường tròn cắt $B$ tại đúng $2n-1$ điểm và cũng cắt $R$ tại đúng $2n-1$ điểm.

Đề xuất bởi Pakawut Jiradilok và Warut Suksompong, Thái Lan.

Cấu hình ví dụ (hình mới):

Tìm tất cả các dãy số nguyên dương $a_0,a_1,a_2,\ldots$ với $a_0\ge2015$ sao cho với mọi số nguyên $n\ge1$:

(i) $a_{n+2}$ chia hết cho $a_n$;

(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, trong đó
$$s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0.$$

Đề xuất bởi Pakawut Jiradilok và Warut Suksompong, Thái Lan.