Với số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số thập phân của nó. Mỗi số nguyên dương thu được bằng cách xóa ít nhất một chữ số ở cuối bên phải trong cách viết thập phân của $n$ gọi là một phần đầu của $n$. Gọi $T(n)$ là tổng tất cả các phần đầu ấy. Chứng minh $n=S(n)+9T(n)$.
Cho hai đa giác đều $n$ cạnh bằng nhau $S,T$ trên mặt phẳng sao cho phần giao là đa giác $2n$ cạnh ($n\ge3$). Các cạnh của $S$ màu đỏ, các cạnh của $T$ màu xanh. Chứng minh tổng độ dài các cạnh xanh của $S\cap T$ bằng tổng độ dài các cạnh đỏ.
Một điểm trong mặt phẳng tọa độ Descartes gọi là hỗn hợp nếu một tọa độ hữu tỉ, tọa độ kia vô tỉ. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực mà đồ thị không chứa điểm hỗn hợp nào.
Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho tồn tại $n+4$ điểm $A,B,C,D,X_1,\ldots,X_n$ trên mặt phẳng với $AB\ne CD$, và với mỗi $i=1,\ldots,n$, hai tam giác $ABX_i,CDX_i$ bằng nhau.
