Gọi tam giác $ABC$ là tuyệt vời nếu với mọi điểm $D$ trên cạnh $BC$, khi $P,Q$ là các hình chiếu vuông góc của $D$ trên các đường thẳng $AB,AC$, ảnh đối xứng của $D$ qua đường $PQ$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $ABC$.
Chứng minh $ABC$ tuyệt vời khi và chỉ khi $\angle A=90^\circ$ và $AB=AC$.
Một số nguyên dương được gọi là đặc sắc nếu viết được thành tổng
$$2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{100}},$$
trong đó các số mũ là số nguyên không âm, không nhất thiết phân biệt. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho không bội nào của $n$ là số đặc sắc.
Cho hai tia $AB,AC$ phân biệt, không thẳng hàng. Đường tròn $\omega$ tâm $O$ tiếp xúc tia $AC$ tại $E$ và tia $AB$ tại $F$. Lấy $R$ trên đoạn $EF$. Đường qua $O$ song song $EF$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$. Gọi $N=PR\cap AC$, và $M$ là giao điểm của $AB$ với đường qua $R$ song song $AC$. Chứng minh $MN$ tiếp xúc với $\omega$.
Dreamland có 2016 thành phố. Hãng Starways lập các chuyến bay một chiều giữa các cặp thành phố sao cho mỗi thành phố có đúng một chuyến bay đi ra. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho với mọi hệ thống bay như vậy, luôn chia được các thành phố thành $k$ nhóm để không thành phố nào đến được một thành phố khác cùng nhóm bằng nhiều nhất 28 chuyến bay.
