APMO 2011 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Cho các số nguyên dương $a,b,c$. Chứng minh rằng ba số $a^2+b+c$, $b^2+c+a$, $c^2+a+b$ không thể đồng thời là số chính phương.

Năm điểm $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ nằm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm giá trị lớn nhất có thể của giá trị nhỏ nhất trong các góc $\angle A_iA_jA_k$, với $i,j,k$ là các số nguyên phân biệt từ 1 đến 5.

Cấu hình minh họa (hình mới):

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $\angle BAC=30^\circ$. Phân giác trong và ngoài của $\angle ABC$ cắt đường thẳng $AC$ lần lượt tại $B_1,B_2$; phân giác trong và ngoài của $\angle ACB$ cắt đường thẳng $AB$ lần lượt tại $C_1,C_2$. Giả sử hai đường tròn đường kính $B_1B_2$ và $C_1C_2$ giao nhau tại điểm $P$ trong tam giác $ABC$. Chứng minh $\angle BPC=90^\circ$.

Hình dựng bổ sung:

Cho số nguyên dương lẻ $n$ cố định. Lấy $m+2$ điểm phân biệt $P_0,P_1,\ldots,P_{m+1}$, trong đó $m$ là số nguyên không âm, trên mặt phẳng tọa độ sao cho:

1. $P_0=(0,1)$, $P_{m+1}=(n+1,n)$, và với $1\le i\le m$, cả hai tọa độ của $P_i$ là các số nguyên từ 1 đến $n$, kể cả hai đầu.
2. Với $0\le i\le m$, đoạn $P_iP_{i+1}$ song song trục $x$ nếu $i$ chẵn, và song song trục $y$ nếu $i$ lẻ.
3. Với mọi $0\le i\lt j\le m$, hai đoạn $P_iP_{i+1},P_jP_{j+1}$ có nhiều nhất một điểm chung.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của $m$.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn:

1. Tồn tại số thực $M$ sao cho $f(x)\lt M$ với mọi số thực $x$.
2. Với mọi số thực $x,y$,
$$f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy).$$