Cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Giả sử $H$ nằm trong tứ giác $BMNC$ và hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BMH,CNH$ tiếp xúc nhau. Đường thẳng qua $H$ song song với $BC$ cắt lại hai đường tròn này lần lượt tại $K,L$. Gọi $F$ là giao điểm của $MK$ và $NL$, còn $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MHN$. Chứng minh $FJ=FA$.
Cho
$$f(x)=\frac1x+\frac1{x-2}+\frac1{x-4}+\cdots+\frac1{x-2018},\qquad g(x)=\frac1{x-1}+\frac1{x-3}+\frac1{x-5}+\cdots+\frac1{x-2017}.$$
Chứng minh $|f(x)-g(x)|\gt 2$ với mọi số thực không nguyên $x$ thỏa mãn $0\lt x\lt 2018$.
Một tập hợp gồm $n$ hình vuông trên mặt phẳng được gọi là liên kết ba nếu:
(i) tất cả các hình vuông bằng nhau;
(ii) nếu hai hình vuông có điểm chung $P$ thì $P$ là đỉnh của cả hai;
(iii) mỗi hình vuông tiếp xúc đúng ba hình vuông khác.
Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2018\le n\le3018$ mà tồn tại một tập hợp như vậy?
Cho tam giác đều $ABC$. Từ $A$ vẽ một tia hướng vào trong tam giác. Mỗi khi gặp một cạnh, tia phản xạ theo định luật phản xạ: nếu góc có hướng khi tới là $\alpha$ thì góc có hướng khi đi là $180^\circ-\alpha$. Sau $n$ lần phản xạ, tia trở lại $A$ mà không lần nào đi qua hai đỉnh còn lại. Tìm mọi giá trị có thể của $n$.
