Cho số nguyên $n\ge5$. Xét $n$ hình vuông có độ dài cạnh lần lượt là $1,2,\ldots,n$. Các hình vuông được xếp trong mặt phẳng, các cạnh song song với trục $x$ và trục $y$. Giả sử hai hình vuông bất kỳ không tiếp xúc nhau, ngoại trừ có thể tại các đỉnh.
Chứng minh có thể xếp các hình vuông sao cho mỗi hình vuông tiếp xúc với đúng hai hình vuông khác.
Hình AI minh họa các hình vuông ban đầu khi $n=5$, chưa thực hiện cách xếp cần tìm:
Tìm tất cả các số nguyên $n\ge2$ thỏa mãn
$$\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n,$$
trong đó $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước dương của $n$, còn $p(n)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$.
Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $W,X,Y,Z$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,CD,DA$, sao cho tâm các đường tròn nội tiếp của bốn tam giác $AWZ,BXW,CYX,DZY$ tạo thành một hình bình hành. Chứng minh $WXYZ$ là hình bình hành.
Cho số thực dương $c\gt 0$, và ký hiệu $\mathbb R_{\gt 0}$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R_{\gt 0}\to\mathbb R_{\gt 0}$ thỏa mãn
$$f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx$$
với mọi $x,y\in\mathbb R_{\gt 0}$.
Trong mặt phẳng có $n$ đoạn thẳng, không có ba đoạn cùng đi qua một điểm, và mỗi cặp cắt nhau tại một điểm nằm trong phần trong của cả hai đoạn. Tony và $2n-1$ người bạn mỗi người đứng tại một đầu mút khác nhau. Tony muốn gửi quà Giáng sinh cho bạn theo cách sau.
Trước hết, Tony chọn một đầu mút của mỗi đoạn làm “đích”. Sau đó đặt món quà tại đầu mút nơi mình đứng. Món quà di chuyển theo quy tắc:
- Khi ở trên một đoạn thẳng, quà đi về phía đích của đoạn đó.
- Khi đến giao điểm của hai đoạn, quà đổi sang đoạn kia rồi đi về phía đích mới.
Nếu quà đến một đầu mút thì người bạn đứng đó nhận được quà. Chứng minh Tony có thể gửi quà đến đúng $n$ trong số $2n-1$ người bạn.
Ví dụ AI dựng về các đoạn ban đầu, chưa chọn các đích:
