APMO 2026 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Tìm tất cả các bộ bốn số nguyên dương $(a,p,m,o)$ với $o\ge2$ sao cho
$$a!+p!=m^o+26.$$

Cho số nguyên $n\ge2$. Gọi $A_1,A_2,\ldots,A_{2^n}$ là tất cả $2^n$ tập con của một tập có $n$ phần tử, sắp theo một thứ tự nào đó. Chứng minh
$$|A_1\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+\cdots+|A_{2^n-1}\cap A_{2^n}|+|A_{2^n}\cap A_1|\ge2^{n-2}.$$

Ký hiệu $\mathbb R_+$ là tập số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ sao cho với mọi $x,y,z\in\mathbb R_+$, bất đẳng thức
$$|x-y|\lt |y-z|$$
đúng khi và chỉ khi
$$|f(x)-f(y)|\lt |f(y)-f(z)|.$$

Cho tứ giác $ABCD$ có đường tròn nội tiếp $\omega$ tâm $I$. Hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $J$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$. Tia $EJ$ kéo dài cắt $\omega$ tại $P$. Chứng minh $PI\perp BD$.

Hình cấu hình do AI dựng chỉ dùng các điểm đã cho:

Cho số nguyên dương $n$. Có $n(n+1)$ phòng xếp thành lưới $(n+1)\times n$. Mỗi cặp phòng kề nhau có một cửa nối. Tìm số cách chọn một tập con các cửa để khóa sao cho tồn tại hai phòng $S,G$ thỏa:
1. $S$ ở hàng đầu, $G$ ở hàng thứ $n+1$.
2. Có thể đi từ $S$ đến $G$ chỉ qua các cửa không khóa.