APMO 2008 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Cho tam giác $ABC$ có $\angle A\lt 60^\circ$. Lấy $X,Y$ lần lượt trên $AB,AC$ sao cho $CA+AX=CB+BX$ và $BA+AY=BC+CY$. Gọi $P$ là điểm trên mặt phẳng sao cho $PX\perp AB$, $PY\perp AC$. Chứng minh $\angle BPC\lt 120^\circ$.

Học sinh trong một lớp lập các nhóm, mỗi nhóm có đúng ba thành viên, sao cho hai nhóm khác nhau có nhiều nhất một thành viên chung. Chứng minh rằng nếu lớp có 46 học sinh thì tồn tại một tập 10 học sinh không chứa trọn vẹn nhóm nào.

Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Một đường tròn qua $A,C$ cắt các cạnh $BC,BA$ lần lượt tại $D,E$. Các đường thẳng $AD,CE$ cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $G,H$. Các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $A,C$ cắt đường thẳng $DE$ lần lượt tại $L,M$. Chứng minh hai đường thẳng $LH,MG$ giao nhau tại một điểm trên $\Gamma$.

Xét hàm $f:\mathbb N_0\to\mathbb N_0$, trong đó $\mathbb N_0$ là tập số nguyên không âm, được xác định bởi
$$f(0)=0,\qquad f(2n)=2f(n),\qquad f(2n+1)=n+2f(n)\quad(n\ge0).$$
(a) Xác định $L=\{n:f(n)\lt f(n+1)\}$, $E=\{n:f(n)=f(n+1)\}$ và $G=\{n:f(n)\gt f(n+1)\}$.
(b) Với mỗi $k\ge0$, tìm công thức cho $a_k=\max\{f(n):0\le n\le2^k\}$.

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $0\lt a\lt c-1$, $1\lt b\lt c$. Với $0\le k\le a$, gọi $r_k$, $0\le r_k\lt c$, là số dư của $kb$ khi chia cho $c$. Chứng minh hai tập $\{r_0,r_1,\ldots,r_a\}$ và $\{0,1,\ldots,a\}$ khác nhau.