Tìm tất cả các tập hữu hạn khác rỗng $S$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn
$$\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S,$$
với mọi $i,j\in S$, trong đó $\gcd(i,j)$ là ước chung lớn nhất của $i,j$.
Gọi $O,H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác $AOH,BOH,COH$ bằng tổng diện tích của hai tam giác còn lại.
Cho tập $S$ gồm 2004 điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $L$ là tập tất cả các đường thẳng (kéo dài vô hạn về hai phía) xác định bởi các cặp điểm của $S$. Chứng minh có thể tô các điểm của $S$ bằng nhiều nhất hai màu sao cho với hai điểm bất kỳ $p,q$ của $S$, số đường thẳng trong $L$ ngăn cách $p,q$ là số lẻ khi và chỉ khi chúng cùng màu.
Chú ý: Đường thẳng $\ell$ ngăn cách $p,q$ nếu chúng nằm ở hai phía khác nhau của $\ell$ và không điểm nào nằm trên $\ell$.
Làm rõ biên tập: hai điểm $p,q$ phải phân biệt. Nguồn viết “hai điểm bất kỳ”; nếu so một điểm với chính nó thì phát biểu theo nghĩa đen không đúng.
Hình minh họa lược giản: chỉ vẽ vài điểm và hai đường thẳng mẫu, không biểu diễn đủ 2004 điểm và toàn bộ các đường thuộc $L$.
Với số thực $x$, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chứng minh rằng
$$\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor$$
là số chẵn với mọi số nguyên dương $n$.
