Ngân hàng câu hỏi APMO 1991

Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Lấy $X\in AB$, $Y\in AC$ sao cho $X,Y,G$ thẳng hàng và $XY\parallel BC$. Gọi $Q=XC\cap GB$, $P=YB\cap GC$. Chứng minh tam giác $MPQ$ đồng dạng với tam giác $ABC$.

Cho $997$ điểm trong mặt phẳng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng và tô đỏ trung điểm của đoạn đó. Chứng minh có ít nhất $1991$ điểm đỏ. Hãy tìm một trường hợp có đúng $1991$ điểm đỏ.



Hình minh họa chỉ biểu diễn một vài điểm đã cho và một trung điểm.

Cho các số thực dương $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n$ thỏa mãn $a_1+\cdots+a_n=b_1+\cdots+b_n$. Chứng minh
$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\ge\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{2}.$$

Trong giờ nghỉ, $n$ học sinh ngồi thành vòng tròn quanh thầy giáo để chơi trò chơi. Đi theo chiều kim đồng hồ, thầy chọn một em và cho một viên kẹo, bỏ qua em kế tiếp rồi cho em tiếp theo một viên, sau đó bỏ qua $2$ em rồi cho em tiếp theo, tiếp nữa bỏ qua $3$ em, cứ như vậy. Tìm các giá trị $n$ sao cho cuối cùng, có thể sau nhiều vòng, mọi em đều nhận được ít nhất một viên kẹo.

Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau và một điểm $P$ trên tiếp tuyến chung vuông góc với đường nối hai tâm. Hãy dùng thước thẳng và compa dựng tất cả các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn đã cho và đi qua $P$.