Ngân hàng câu hỏi APMO 2002

Cho các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$, trong đó $n$ là số nguyên dương, và đặt
$$A_n=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}.$$
Chứng minh
$$a_1!a_2!\cdots a_n!\ge(\lfloor A_n\rfloor!)^n,$$
trong đó $\lfloor A_n\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt $A_n$, còn $a!=1\cdot2\cdots a$ với $a\ge1$, quy ước $0!=1$. Khi nào xảy ra dấu bằng?

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b$ sao cho cả hai số
$$\frac{a^2+b}{b^2-a},\qquad\frac{b^2+a}{a^2-b}$$
đều là số nguyên.

Cho tam giác đều $ABC$. Lấy $P\in AC$, $Q\in AB$ sao cho hai tam giác $ABP,ACQ$ đều nhọn. Gọi $R,S$ lần lượt là trực tâm của chúng và $T=BP\cap CQ$. Tìm tất cả giá trị của $\angle CBP$, $\angle BCQ$ để $TRS$ là tam giác đều.



Quy ước biên tập: giao điểm $T$ là duy nhất và tam giác $TRS$ không suy biến. Lựa chọn đồng thời $P=C,Q=B$ làm $BP=CQ=BC$, nên bị loại.

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $1/x+1/y+1/z=1$. Chứng minh
$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z.$$

Gọi $\mathbb R$ là tập số thực. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn:
(i) chỉ có hữu hạn số thực $s$ sao cho $f(s)=0$;
(ii) $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$ với mọi số thực $x,y$.