Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$. Gọi $A_1$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$, nên $AA_1$ là đường cao. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $AB,AC$. Điểm $P$ sao cho tứ giác $AB_1PC_1$ lồi và có diện tích bằng tam giác $ABC$. Có thể có $P$ nằm hẳn bên trong $\Gamma$ hay không? Giải thích câu trả lời.
Cho các số thực dương $\alpha,\beta$. Emerald đi trong mặt phẳng tọa độ, xuất phát từ $(0,0)$. Mỗi phút cô đi lên một đơn vị hoặc sang phải một đơn vị, luôn ở trong miền $|x-y|\lt 2025$. Khi đến $(x,y)$, cô ghi số nguyên $\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor$ tại đó. Cô đã ghi mỗi số nguyên không âm đúng một lần. Tìm tất cả các cặp $(\alpha,\beta)$ có thể thực hiện chuyến đi như vậy.
Cho đa thức không hằng $P(x)$ có hệ số nguyên và $P(0)\ne0$. Cho dãy vô hạn các số nguyên $a_1,a_2,a_3,\ldots$ sao cho $P(i-j)$ chia hết $a_i-a_j$ với mọi số nguyên dương phân biệt $i,j$. Chứng minh dãy là hằng.
Cho số nguyên $n\ge3$. Có $n$ ô trên một đường tròn, mỗi ô được gán $0$ hoặc $1$. Một con gà trống đứng trên một ô và lặp lại các thao tác:
- Nếu ô đang đứng mang số $0$, đổi thành $1$ rồi đi đến ô kế tiếp ngược chiều kim đồng hồ.
- Nếu ô đang đứng mang số $1$, đổi thành $0$ rồi đi đến ô cách hai bước ngược chiều kim đồng hồ.
Chứng minh sau đủ nhiều thao tác, mệnh đề sau luôn đúng: nếu gà đứng tại ô $C$, nó sẽ đi quanh vòng tròn đúng ba vòng rồi lại dừng tại $C$, đồng thời mọi ô mang số như ngay trước ba vòng đó.
Xét dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho
$$100!\,(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)$$
là bội của $a_{n-m+1}a_{n+m}$ với mọi số nguyên dương $m\le n$. Chứng minh dãy hoặc bị chặn, hoặc tuyến tính.
Dãy bị chặn nếu tồn tại hằng số $N$ sao cho $a_n\lt N$ với mọi số nguyên dương $n$. Dãy tuyến tính nếu $a_n=n\,a_1$ với mọi số nguyên dương $n$.
