Cho tứ giác $ABCD$ có $AB=BC=CD=DA$. Hai đoạn $MN,PQ$ vuông góc với đường chéo $BD$ và cách nhau $d\gt BD/2$, với $M\in AD$, $N\in DC$, $P\in AB$, $Q\in BC$. Chứng minh chu vi lục giác $AMNCQP$ không phụ thuộc vị trí của $MN,PQ$ khi khoảng cách giữa chúng không đổi.
Cho bốn điểm $P_1,P_2,P_3,P_4$ trên một đường tròn. Gọi $I_1,I_2,I_3,I_4$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $P_2P_3P_4$, $P_1P_3P_4$, $P_1P_2P_4$, $P_1P_2P_3$. Chứng minh $I_1,I_2,I_3,I_4$ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Hội đồng Hôn nhân Quốc gia muốn mời $n$ cặp vợ chồng lập thành $17$ nhóm thảo luận với các điều kiện:
1. Mỗi nhóm chỉ gồm nam hoặc chỉ gồm nữ.
2. Số người của hai nhóm bất kỳ chênh nhau $0$ hoặc $1$.
3. Mọi nhóm đều có ít nhất một người.
4. Mỗi người thuộc đúng một nhóm.
Tìm và giải thích tất cả các giá trị $n\le1996$ có thể thực hiện.
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh
$$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c,$$
và tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.
