Ngân hàng câu hỏi APMO 1990

Cho tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC,AB$ và $G$ là trọng tâm. Với mỗi giá trị của $\angle BAC$, có bao nhiêu tam giác đôi một không đồng dạng sao cho $AEGF$ là tứ giác nội tiếp?

Cho các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Gọi $S_k$ là tổng các tích lấy $k$ số khác nhau trong $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Chứng minh
$$S_kS_{n-k}\ge\binom nk^2a_1a_2\cdots a_n\qquad(k=1,2,\ldots,n-1).$$

Xét mọi tam giác $ABC$ có đáy $AB$ cố định và đường cao hạ từ $C$ có độ dài không đổi $h$. Trong các tam giác đó, tam giác nào có tích ba đường cao lớn nhất?

Một tập gồm $1990$ người được chia thành các tập con đôi một không giao nhau sao cho:
1. Không ai trong một tập con quen tất cả những người khác trong tập ấy.
2. Trong ba người bất kỳ của một tập con luôn có ít nhất hai người không quen nhau.
3. Với hai người không quen nhau trong cùng một tập con, có đúng một người trong tập ấy quen cả hai.
(a) Chứng minh trong mỗi tập con, mọi người có cùng số người quen.
(b) Tìm số tập con lớn nhất có thể.
Quan hệ quen biết là hai chiều; mỗi người được coi là quen chính mình.

Chứng minh với mọi số nguyên $n\ge6$, tồn tại một lục giác lồi có thể chia thành đúng $n$ tam giác bằng nhau.