APMO 2019 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Gọi $\mathbb Z^+$ là tập các số nguyên dương. Tìm mọi hàm số $f:\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+$ sao cho $a^2+f(a)f(b)$ chia hết cho $f(a)+b$ với mọi số nguyên dương $a,b$.

Cho số nguyên dương cố định $m$. Dãy vô hạn được xác định bởi số nguyên dương $a_1$ và, với mọi $n\ge1$,
$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n^2+2^m,&a_n\lt 2^m,\\a_n/2,&a_n\ge2^m.\end{cases}$$
Với mỗi $m$, tìm mọi $a_1$ sao cho tất cả số hạng đều nguyên.

Cho tam giác không cân $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$, và $M$ là trung điểm $BC$. Điểm $P$ thay đổi trên đoạn $AM$. Các đường tròn ngoại tiếp $BPM,CPM$ cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $D,E$. Các đường thẳng $DP,EP$ cắt lại các đường tròn ngoại tiếp $CPM,BPM$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh khi $P$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp $AXY$ luôn đi qua một điểm cố định $T\ne A$.

Làm rõ biên tập: lấy $P$ trong đoạn mở $AM$ và xét các vị trí mà các giao điểm thứ hai phân biệt cùng đường tròn ngoại tiếp $AXY$ đều được xác định. Cách viết về đoạn thẳng của nguồn được giữ ở trên.

Xét bảng $2018\times2019$ mà mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên. Hai ô là láng giềng nếu chung một cạnh. Mỗi lượt, chọn một số ô, tính trung bình cộng các số ở mọi ô láng giềng của từng ô được chọn, rồi đồng thời thay mỗi số được chọn bằng trung bình đã tính. Có phải lúc nào cũng làm cho tất cả các số bằng nhau sau hữu hạn lượt không?

Tìm mọi hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho
$$f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)$$
với mọi số thực $x,y$.