Annie bắt đầu với một hàng số nguyên dương, mỗi số là lũy thừa của $2$. Mỗi lượt, cô xóa hai số đứng cạnh nhau và thay bằng một lũy thừa của $2$ lớn hơn cả hai số đã xóa. Cô tiếp tục đến khi chỉ còn một số. Annie thắng nếu số cuối nhỏ hơn $4$ lần tổng các số ban đầu. Có phải Annie luôn có thể thắng, bất kể hàng số ban đầu?
Tác giả đề bài: Andrew Dittmer.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba cạnh đôi một khác nhau và không góc nào bằng $60^\circ$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp. Tam giác đều $\Delta_B$ có ba đỉnh trên $\omega$, trong đó một đỉnh là $B$; đường thẳng $\ell_B$ đi qua hai đỉnh còn lại. Định nghĩa $\Delta_C,\ell_C$ tương tự. Đặt $Y=AC\cap\ell_B$, $Z=AB\cap\ell_C$. Gọi $N$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ trên $\omega$. Ba đường $\ell_B,\ell_C$ và tiếp tuyến của $\omega$ tại $N$ tạo thành tam giác $\mathcal R$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $AYZ$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp $\mathcal R$.
Tác giả đề bài: Rogelio Guerrero.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Số nguyên dương $n$ được gọi là đơn độc nếu với mọi số nguyên không âm $a,b$ thỏa $a+b=n$, ít nhất một trong hai số $a,b$ có chữ số $1$. Xác định và chứng minh số lượng số đơn độc nhỏ hơn $10^{2026}$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$ và thỏa mãn
$$\angle AFE=\angle BDF=\angle CED.$$
Gọi $O_A,O_B,O_C$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $AFE,BDF,CED$. Gọi $M,N,O$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,DEF,O_AO_BO_C$. Chứng minh $OM=ON$.
Tác giả đề bài: Serena An.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^2+b^2+1$ chia hết cho $\varphi(ab+1)$, tức $\varphi(ab+1)\mid a^2+b^2+1$, trong đó $\varphi$ là hàm Euler. Chứng minh $a,b$ đều là số Fibonacci.
Tác giả đề bài: Raymond Feng and Eric Shen.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cố định các số nguyên dương $k,d$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ $n$ đủ lớn, tất cả các chữ số của biểu diễn $n^k$ trong cơ số $2n$ đều lớn hơn $d$.
Tác giả đề bài: John Berman.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho các số nguyên $n\gt k\ge1$ và đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ bậc $n$, không có nghiệm bội, với $P(0)\ne0$. Giả sử với mọi số thực $a_0,\ldots,a_k$ mà đa thức $a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0$ chia $P(x)$, ta luôn có $a_0a_1\cdots a_k=0$. Chứng minh $P(x)$ có nghiệm không thực.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Alice, kiến trúc sư, và Bob, thợ xây, chơi trò chơi sau. Alice chọn hai điểm $P,Q$ và tập con $\mathcal S$ của mặt phẳng rồi công bố cho Bob. Bob đánh dấu vô hạn điểm làm thành phố, sao cho khoảng cách giữa hai thành phố bất kỳ lớn hơn $1$, và không có ba thành phố thẳng hàng. Hai thành phố $A,B$ được nối bằng đoạn đường $AB$ khi và chỉ khi: với mọi thành phố $C$ khác $A,B$, tồn tại $R\in\mathcal S$ sao cho tam giác $PQR$ đồng dạng thuận với $ABC$ hoặc $BAC$. Alice thắng nếu mọi cặp thành phố có thể đi tới nhau qua hữu hạn đoạn đường và không có hai đường cắt nhau ở bên trong. Nếu không, Bob thắng. Xác định và chứng minh ai có chiến lược thắng.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho $H$ là trực tâm tam giác nhọn $ABC$, $F$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, và $P$ là ảnh đối xứng của $H$ qua $BC$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $X,Y$. Chứng minh $CX=CY$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho các số nguyên dương $m\ge n$. Có $m$ bánh cupcake khác vị xếp quanh một vòng tròn và $n$ người thích bánh. Mỗi người gán cho mỗi chiếc bánh một điểm số thực không âm theo mức độ yêu thích. Giả sử với mỗi người $P$, có thể chia vòng bánh thành $n$ nhóm liên tiếp sao cho tổng điểm theo $P$ của mỗi nhóm ít nhất bằng $1$. Chứng minh có thể phân phát $m$ chiếc bánh cho $n$ người để mỗi người $P$ nhận tổng điểm theo chính mình ít nhất bằng $1$.
Tác giả đề bài: Cheng-Yin Chang and Hung-Hsun Yu.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho $100$ tập hữu hạn số nguyên $S_1,\ldots,S_{100}$ có giao chung khác rỗng. Với mỗi họ con không rỗng gồm $t$ tập, số phần tử của giao các tập ấy chia hết cho $t$. Số phần tử nhỏ nhất có thể thuộc ít nhất $50$ tập là bao nhiêu?
Tác giả đề bài: Rishabh Das. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho các số nguyên dương $(m,n)$ với $n\ge3$. Vẽ một đa giác đều $n$ cạnh rồi chia nó thành $n-2$ tam giác bằng các đường chéo không cắt nhau bên trong. Tô mỗi tam giác bằng một trong $m$ màu sao cho tổng diện tích của mỗi màu đều bằng nhau. Tìm tất cả cặp $(m,n)$ thực hiện được.
Tác giả đề bài: Krit Boonsiriseth. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Một vòng hạt gồm $mn$ hạt, mỗi hạt đỏ hoặc xanh lam. Bất kể cắt vòng thành $m$ đoạn, mỗi đoạn gồm $n$ hạt liên tiếp, số hạt đỏ trong các đoạn đều đôi một khác nhau. Xác định và chứng minh mọi cặp $(m,n)$ có thể.
Tác giả đề bài: Rishabh Das. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle DAC=\angle ACB$ và $\angle BDC=90^\circ+\angle BAC$. Chọn $E$ trên tia $BD$ sao cho $AE=EC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh đường thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEM$.
Tác giả đề bài: Anton Trygub. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho số nguyên $n>2$ và $\ell\in\{1,\ldots,n\}$. Một họ $A_1,\ldots,A_k$ gồm các tập con không nhất thiết phân biệt của $[n]=\{1,\ldots,n\}$ gọi là lớn mức $\ell$ nếu $|A_i|\ge\ell$ với mọi $i$. Tìm số thực lớn nhất $c$, theo $n,\ell$, sao cho với mọi số nguyên dương $k$, mọi $x_1,\ldots,x_k\ge0$ và mọi họ lớn mức $\ell$,
Trong tam giác nhọn $ABC$, gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $P$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $AM$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $B,Q$. Gọi $N$ là trung điểm $AQ$. Chứng minh $NB=NC$.
Tác giả đề bài: Holden Mui. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.