Cố định các số nguyên dương $k,d$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ $n$ đủ lớn, tất cả các chữ số của biểu diễn $n^k$ trong cơ số $2n$ đều lớn hơn $d$.
Tác giả đề bài: John Berman.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho các số nguyên $n\gt k\ge1$ và đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ bậc $n$, không có nghiệm bội, với $P(0)\ne0$. Giả sử với mọi số thực $a_0,\ldots,a_k$ mà đa thức $a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0$ chia $P(x)$, ta luôn có $a_0a_1\cdots a_k=0$. Chứng minh $P(x)$ có nghiệm không thực.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Alice, kiến trúc sư, và Bob, thợ xây, chơi trò chơi sau. Alice chọn hai điểm $P,Q$ và tập con $\mathcal S$ của mặt phẳng rồi công bố cho Bob. Bob đánh dấu vô hạn điểm làm thành phố, sao cho khoảng cách giữa hai thành phố bất kỳ lớn hơn $1$, và không có ba thành phố thẳng hàng. Hai thành phố $A,B$ được nối bằng đoạn đường $AB$ khi và chỉ khi: với mọi thành phố $C$ khác $A,B$, tồn tại $R\in\mathcal S$ sao cho tam giác $PQR$ đồng dạng thuận với $ABC$ hoặc $BAC$. Alice thắng nếu mọi cặp thành phố có thể đi tới nhau qua hữu hạn đoạn đường và không có hai đường cắt nhau ở bên trong. Nếu không, Bob thắng. Xác định và chứng minh ai có chiến lược thắng.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho $H$ là trực tâm tam giác nhọn $ABC$, $F$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, và $P$ là ảnh đối xứng của $H$ qua $BC$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $X,Y$. Chứng minh $CX=CY$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho các số nguyên dương $m\ge n$. Có $m$ bánh cupcake khác vị xếp quanh một vòng tròn và $n$ người thích bánh. Mỗi người gán cho mỗi chiếc bánh một điểm số thực không âm theo mức độ yêu thích. Giả sử với mỗi người $P$, có thể chia vòng bánh thành $n$ nhóm liên tiếp sao cho tổng điểm theo $P$ của mỗi nhóm ít nhất bằng $1$. Chứng minh có thể phân phát $m$ chiếc bánh cho $n$ người để mỗi người $P$ nhận tổng điểm theo chính mình ít nhất bằng $1$.
Tác giả đề bài: Cheng-Yin Chang and Hung-Hsun Yu.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.