USAMO 2018 — Ngày 1 và Ngày 2

Cho $a,b,c\gt 0$ thỏa mãn $a+b+c=4\sqrt[3]{abc}$. Chứng minh

$$2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2.$$

Tác giả đề: Titu Andreescu. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Tìm mọi hàm $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ sao cho

$$f(x+1/y)+f(y+1/z)+f(z+1/x)=1$$

với mọi $x,y,z\gt 0$ và $xyz=1$.

Tác giả đề: Titu Andreescu, Nikolai Nikolov. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Cho $n\ge2$ và $a_1,\ldots,a_m$ là $m=\varphi(n)$ số nguyên dương nhỏ hơn $n$, nguyên tố cùng nhau với $n$. Giả sử mọi ước nguyên tố của $m$ đều chia $n$. Chứng minh $m\mid a_1^k+\cdots+a_m^k$ với mọi số nguyên $k\gt 0$.

Tác giả đề: Ivan Borsenco. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên $a_1,\ldots,a_p$. Chứng minh tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a_1+k,a_2+2k,\ldots,a_p+pk$ có ít nhất $p/2$ số dư phân biệt modulo $p$.

Tác giả đề: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Cho tứ giác lồi nội tiếp $ABCD$. Đặt $E=AC\cap BD$, $F=AB\cap CD$, $G=DA\cap BC$. Đường tròn $ABE$ cắt đường $CB$ lần nữa tại $P$, đường tròn $ADE$ cắt đường $CD$ lần nữa tại $Q$. Giả sử có các thứ tự $C,B,P,G$ và $C,Q,D,F$. Đặt $M=FP\cap GQ$. Chứng minh $\angle MAC=90^\circ$.

Tác giả đề: Kada Williams. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Gọi $a_n$ là số hoán vị $(x_1,\ldots,x_n)$ của $(1,\ldots,n)$ mà mọi tỉ số $x_k/k$ phân biệt. Chứng minh $a_n$ lẻ với mọi $n\ge1$.

Tác giả đề: Richard Stong. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.