Ngân hàng câu hỏi USAMO 1998

Tập $\{1,2,\ldots,1998\}$ được chia thành các cặp rời nhau $\{a_i,b_i\}$, $1\le i\le999$, sao cho mỗi $|a_i-b_i|$ bằng $1$ hoặc $6$. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{999}|a_i-b_i|$ có chữ số tận cùng là $9$.

Hai đường tròn $\mathcal C_1,\mathcal C_2$ đồng tâm, trong đó $\mathcal C_2$ nằm trong $\mathcal C_1$. Từ $A\in\mathcal C_1$, kẻ tiếp tuyến $AB$ đến $\mathcal C_2$, với $B\in\mathcal C_2$. Gọi $C$ là giao điểm thứ hai của tia $AB$ với $\mathcal C_1$, và $D$ là trung điểm $AB$. Một đường thẳng qua $A$ cắt $\mathcal C_2$ tại $E,F$ sao cho các đường trung trực của $DE$ và $CF$ cắt nhau tại điểm $M$ nằm trên đường thẳng $AB$. Tìm và chứng minh tỉ số $AM/MC$.

Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n\in(0,\pi/2)$ thỏa mãn
\[\sum_{i=0}^n\tan(a_i-\pi/4)\ge n-1.\]
Chứng minh $\prod_{i=0}^n\tan a_i\ge n^{n+1}$.

Màn hình máy tính hiển thị bàn cờ $98\times98$ tô hai màu xen kẽ như thông thường. Mỗi lần nhấp chuột chọn một hình chữ nhật có các cạnh nằm trên các đường kẻ của bàn cờ và đổi màu mọi ô bên trong. Tìm và chứng minh số lần nhấp ít nhất để bàn cờ chỉ còn một màu.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n\ge2$, tồn tại tập $S$ gồm $n$ số nguyên sao cho $ab$ chia hết cho $(a-b)^2$ với mọi cặp phần tử phân biệt $a,b\in S$.

Cho số nguyên $n\ge5$. Tìm số nguyên lớn nhất $k$ theo $n$ sao cho tồn tại một đa giác lồi $n$ đỉnh $A_1A_2\cdots A_n$ mà đúng $k$ tứ giác $A_iA_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ có đường tròn nội tiếp. Các chỉ số được lấy modulo $n$.