Ngân hàng câu hỏi USAMO 2017

Chứng minh có vô hạn cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a,b\gt 1$ sao cho $a+b\mid a^b+b^a$.

Tác giả đề: Gregory Galperin. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Cho các số nguyên dương $m_1,\ldots,m_n$, có thể trùng nhau. Với dãy nguyên $A=(a_1,\ldots,a_n)$ và hoán vị $w$ của đa tập này, nghịch thế $A$ là cặp $i\lt j$ thỏa một trong các điều kiện

$$a_i\ge w_i\gt w_j,\qquad w_j\gt a_i\ge w_i,\qquad w_i\gt w_j\gt a_i.$$

Chứng minh với mọi dãy nguyên $A,B$ và mọi số nguyên dương $k$, số hoán vị có đúng $k$ nghịch thế $A$ bằng số hoán vị có đúng $k$ nghịch thế $B$.

Tác giả đề: Maria Monks. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Cho tam giác không cân $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Omega$, tâm nội tiếp $I$. Tia $AI$ cắt đoạn $BC$ tại $D$, cắt lại $\Omega$ tại $M$. Đường tròn đường kính $DM$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Hai đường $MK$, $BC$ cắt nhau tại $S$, và $N$ là trung điểm $IS$. Các đường tròn ngoại tiếp $KID$, $MAN$ giao nhau tại $L_1,L_2$. Chứng minh $\Omega$ đi qua trung điểm của ít nhất một trong hai đoạn $IL_1$, $IL_2$.

Tác giả đề: Evan Chen. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Có $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn đơn vị, không điểm nào là $O=(1,0)$, gồm $n$ điểm đỏ và $n$ điểm xanh. Sắp thứ tự tùy ý các điểm đỏ $R_1,\ldots,R_n$. Ghép $R_1$ với điểm xanh đầu tiên gặp khi đi ngược chiều kim đồng hồ, gọi là $B_1$; ghép $R_2$ với điểm xanh đầu tiên còn lại theo chiều đó, rồi tiếp tục. Chứng minh số cung ngược chiều kim đồng hồ $R_i\to B_i$ chứa $O$ không phụ thuộc thứ tự các điểm đỏ.

Tác giả đề: Maria Monks. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Tìm mọi số thực $c\gt 0$ sao cho có thể gán nhãn nguyên dương cho các điểm lưới $\mathbb Z^2$, chỉ dùng hữu hạn nhãn, và hai điểm phân biệt cùng nhãn $i$ luôn cách nhau ít nhất $c^i$.

Tác giả đề: Ricky Liu. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$\frac{a}{b^3+4}+\frac{b}{c^3+4}+\frac{c}{d^3+4}+\frac{d}{a^3+4}$$

với $a,b,c,d\ge0$ và $a+b+c+d=4$.

Tác giả đề: Titu Andreescu. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen, không phải ấn phẩm chính thức. Một điểm biên tập; chấm thủ công.