Cho $X_1,X_2,\ldots,X_{100}$ là một dãy các tập con khác rỗng, đôi một khác nhau của tập $S$. Với mọi $i=1,\ldots,99$, hai tập liên tiếp rời nhau và hợp của chúng không bằng $S$: $X_i\cap X_{i+1}=\varnothing$, $X_i\cup X_{i+1}\ne S$. Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của $S$.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $I_B,I_C,O$ lần lượt là tâm bàng tiếp đối diện $B$, tâm bàng tiếp đối diện $C$ và tâm ngoại tiếp. Lấy $E,Y\in AC$ sao cho $BE\perp AC$ và $BY$ là phân giác $\angle ABC$. Tương tự lấy $F,Z\in AB$ sao cho $CF\perp AB$ và $CZ$ là phân giác $\angle ACB$. Hai đường $I_BF$ và $I_CE$ gặp nhau tại $P$. Chứng minh $PO\perp YZ$.
Tác giả đề bài: Evan Chen, Telv Cohl (theo Evan Chen).
Ngũ giác đều cạnh $AMNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$ sao cho $M\in AB$, $Q\in AC$, $N,P\in BC$. Gọi $S$ là giao điểm hai đường $MN,PQ$, và $\ell$ là phân giác của $\angle MSQ$. Chứng minh $OI$ song song $\ell$, với $O,I$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp tam giác $ABC$.
Cho các số nguyên $n\ge k\ge2$. Phù thủy có $2n$ lá bài, mỗi nhãn $1,\ldots,n$ xuất hiện hai lần, úp thành hàng theo thứ tự chưa biết. Mỗi lượt bạn chọn đúng $k$ lá, phù thủy lật chúng. Nếu có hai nhãn trùng nhau, bạn thắng và trò chơi kết thúc. Nếu không, bạn phải nhìn đi chỗ khác; phù thủy hoán vị tùy ý $k$ lá vừa chọn rồi úp lại. Gọi trò chơi thắng được nếu có số nguyên dương $m$ và một chiến thuật chắc chắn thắng trong không quá $m$ lượt, bất kể phản ứng của phù thủy. Tìm các cặp $(n,k)$ để trò chơi thắng được.