Tìm tất cả các hợp số nguyên dương $n$ sao cho có thể xếp tất cả các ước lớn hơn $1$ của $n$ trên một đường tròn, mỗi ước xuất hiện đúng một lần, và không có hai ước kề nhau nguyên tố cùng nhau.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo nguồn được cung cấp).
Cho tam giác nhọn $ABC$ và hai điểm $P,Q$ trên cạnh $BC$. Dựng $C_1$ sao cho tứ giác lồi $APBC_1$ nội tiếp, $QC_1\parallel CA$, và $C_1,Q$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB$. Dựng $B_1$ sao cho tứ giác lồi $APCB_1$ nội tiếp, $QB_1\parallel BA$, và $B_1,Q$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AC$. Chứng minh $B_1,C_1,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo nguồn được cung cấp).
Bốn chân $L_1,L_2,L_3,L_4$ của một chiếc bàn vuông đều dài $n$, với $n$ là số nguyên dương; các chân được đánh số theo chu vi mặt bàn. Có bao nhiêu bộ có thứ tự $(k_1,k_2,k_3,k_4)$ gồm các số nguyên không âm sao cho cắt đoạn dài $k_i$ ở cuối chân $L_i$ thì bàn vẫn vững? Bàn vững nếu có thể đặt để cả bốn đầu chân cùng chạm sàn. Cho phép chân sau khi cắt có độ dài $0$.
Tác giả đề bài: Elgin Johnston (theo nguồn được cung cấp).
Cho số nguyên $n>1$ và $2n$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng. Trong đó có $n$ điểm xanh và $n$ điểm đỏ. Một đường thẳng gọi là đường cân bằng nếu đi qua một điểm xanh và một điểm đỏ, đồng thời trong mỗi nửa mặt phẳng do nó xác định, số điểm xanh bằng số điểm đỏ. Chứng minh có ít nhất hai đường cân bằng.
Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya (theo nguồn được cung cấp).
Với số nguyên dương $m$, gọi $s(m)$ là tổng các chữ số thập phân của $m$. Tập $S$ gồm các số nguyên dương gọi là $k$-ổn định nếu $s(\sum_{x\in X}x)=k$ với mọi tập con không rỗng $X\subseteq S$. Với mỗi số nguyên $n\ge2$, gọi $f(n)$ là số $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $k$-ổn định có $n$ phần tử. Chứng minh tồn tại các hằng số $0<C_1<C_2$ sao cho $$C_1\log_{10}n\le f(n)\le C_2\log_{10}n.$$
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu (theo nguồn được cung cấp).