Cho ngũ giác lồi $AXYZB$ nội tiếp một nửa đường tròn có đường kính $AB$. Gọi $P,Q,R,S$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $Y$ xuống các đường thẳng $AX,BX,AZ,BZ$. Chứng minh góc nhọn giữa hai đường thẳng $PQ$ và $RS$ bằng một nửa góc $XOZ$, trong đó $O$ là trung điểm $AB$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Có $n$ học sinh đứng thành một vòng tròn, người sau nối tiếp người trước. Chiều cao của họ là $h_1\lt h_2\lt \cdots\lt h_n$. Nếu người cao $h_k$ đứng ngay sau một người cao không quá $h_{k-2}$ thì hai người được phép đổi chỗ. Chứng minh không thể thực hiện quá $\binom n3$ lần đổi chỗ như vậy trước khi đến một vị trí không còn phép đổi nào hợp lệ.
Tác giả đề bài: David Speyer (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_{2010}$ thỏa $a_i a_j\le i+j$ với mọi $1\le i\lt j\le2010$. Hãy xác định và chứng minh giá trị lớn nhất của tích $a_1a_2\cdots a_{2010}$.
Tác giả đề bài: Gabriel Carroll (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Cho tam giác $ABC$ có $\angle A=90^\circ$. Các điểm $D,E$ lần lượt nằm trên các cạnh $AC,AB$ sao cho $\angle ABD=\angle DBC$ và $\angle ACE=\angle ECB$. Hai đoạn $BD,CE$ cắt nhau tại $I$. Hãy xác định liệu cả sáu đoạn $AB,AC,BI,ID,CI,IE$ có thể đồng thời có độ dài nguyên hay không.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $q=(3p-5)/2$. Đặt $$S_q=\frac1{2\cdot3\cdot4}+\frac1{5\cdot6\cdot7}+\cdots+\frac1{q(q+1)(q+2)}.$$ Chứng minh rằng nếu $1/p-2S_q=m/n$ với $m,n$ nguyên thì $m-n$ chia hết cho $p$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Trên bảng có $68$ cặp có thứ tự (không nhất thiết khác nhau) gồm các số nguyên khác $0$. Biết rằng không có số nguyên $k$ nào mà cả $(k,k)$ lẫn $(-k,-k)$ cùng xuất hiện. Một học sinh xóa một số trong $136$ số nguyên sao cho không có hai số bị xóa có tổng bằng $0$, và được một điểm cho mỗi cặp có ít nhất một số bị xóa. Số điểm lớn nhất mà học sinh có thể bảo đảm là bao nhiêu?
Tác giả đề bài: Gerhard Woeginger (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).