Ngân hàng câu hỏi USAMO 1999

Một số quân cờ được đặt trên bàn $n\times n$, thỏa mãn:
(a) mỗi ô trống có chung một cạnh với một ô có quân;
(b) giữa hai ô có quân bất kỳ, có một dãy các ô có quân nối chúng, trong đó hai ô liên tiếp chung một cạnh.
Chứng minh có ít nhất $(n^2-2)/3$ quân cờ trên bàn.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Chứng minh
\[|AB-CD|+|AD-BC|\ge2|AC-BD|.\]

Cho số nguyên tố $p>2$ và các số nguyên $a,b,c,d$ không chia hết cho $p$. Giả sử với mọi số nguyên $r$ không chia hết cho $p$,
\[\left\{\frac{ra}{p}\right\}+\left\{\frac{rb}{p}\right\}+\left\{\frac{rc}{p}\right\}+\left\{\frac{rd}{p}\right\}=2,\]
trong đó $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$ là phần lẻ. Chứng minh ít nhất hai trong sáu số $a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d$ chia hết cho $p$.

Cho $n>3$ số thực $a_1,\ldots,a_n$ thỏa $\sum_{i=1}^na_i\ge n$ và $\sum_{i=1}^na_i^2\ge n^2$. Chứng minh $\max(a_1,\ldots,a_n)\ge2$.

Trò chơi Y2K diễn ra trên một hàng $1\times2000$ ô. Hai người luân phiên viết S hoặc O vào một ô trống. Người đầu tiên tạo ra ba ô liên tiếp ghi SOS thắng. Nếu bảng kín mà chưa có SOS, ván đấu hòa. Chứng minh người đi sau có chiến lược thắng.

Cho hình thang cân $ABCD$ với $AB\parallel CD$. Đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $BCD$ tiếp xúc $CD$ tại $E$. Điểm $F$ nằm trên phân giác trong của $\angle DAC$ và $EF\perp CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACF$ cắt đường thẳng $CD$ tại $C$ và $G$. Chứng minh tam giác $AFG$ cân.