Hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ trên các số nguyên dương thỏa mãn $f^{f(n)}(n)=n^2/f(f(n))$ với mọi $n\ge1$, trong đó số mũ chỉ số lần hợp thành. Tìm mọi giá trị có thể có của $f(1000)$.
Tác giả đề bài: Evan Chen. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ thỏa $AD^2+BC^2=AB^2$. Hai đường chéo cắt nhau tại $E$. Điểm $P$ trên cạnh $AB$ thỏa $\angle APD=\angle BPC$. Chứng minh đường thẳng $PE$ đi qua trung điểm $CD$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Gọi $K$ là tập các số nguyên dương có biểu diễn thập phân không chứa chữ số $7$. Tìm mọi đa thức $f$ có hệ số không âm sao cho $f(x)\in K$ với mọi $x\in K$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Vlad Matei, Cosmin Pohoata. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Cho số nguyên $n\ge0$. Đếm các họ tập $S_{ij}\subseteq\{1,\ldots,2n\}$ với $0\le i,j\le n$ thỏa $|S_{ij}|=i+j$ và $S_{ij}\subseteq S_{kl}$ khi $i\le k$, $j\le l$. Các tập không nhất thiết phân biệt.
Tác giả đề bài: Ricky Liu. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Cho các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $m,n$. Ban đầu trên bảng có $m/n$ và $n/m$. Mỗi bước Evan được chọn hai số $x,y$ trên bảng và viết thêm trung bình cộng $(x+y)/2$ hoặc trung bình điều hòa $2xy/(x+y)$. Với những cặp $(m,n)$ nào có thể viết $1$ sau hữu hạn bước?
Tác giả đề bài: Yannick Yao. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.