Trong tam giác $ABC$, các điểm $P,Q,R$ lần lượt nằm trên $BC,CA,AB$. Gọi $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ là các đường tròn ngoại tiếp $AQR,BRP,CPQ$. Đoạn $AP$ cắt lại các đường tròn này lần lượt tại $X,Y,Z$. Chứng minh $YX/XZ=BP/PC$.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo tài liệu được cung cấp).
Với $n\ge3$, đặt $n$ điểm cách đều trên một đường tròn, đánh dấu một điểm là $A$ và đặt quân ở đó. Mỗi nước đi theo chiều kim đồng hồ đến điểm kế tiếp hoặc điểm sau điểm kế tiếp; có $2n$ nước đi có hướng phân biệt. Gọi $a_n$ là số cách đi đúng hai vòng từ $A$ về $A$ mà không lặp lại nước đi nào. Chứng minh $a_{n-1}+a_n=2^n$ với mọi $n\ge4$.
Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya (theo tài liệu được cung cấp).
Xếp $n(n+1)/2$ quân có hai mặt đen và trắng thành mảng tam giác đều, hàng dài nhất có $n$ quân; ban đầu tất cả ngửa mặt trắng. Mỗi thao tác lật mọi quân trên một đường song song với một cạnh. Cấu hình gọi là đạt được nếu tạo ra bởi hữu hạn thao tác. Với cấu hình đạt được $C$, gọi $f(C)$ là số thao tác ít nhất để tạo $C$. Tìm $\max_C f(C)$ với mọi số nguyên dương $n$.
Tác giả đề bài: Warut Suksompong (theo tài liệu được cung cấp).
Cho tam giác $ABC$. Tìm mọi điểm $P$ trên đoạn $BC$ có tính chất sau. Gọi $X,Y$ là giao điểm của đường thẳng $PA$ với hai tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn ngoại tiếp $PAB,PAC$. Khi đó
$$\left(\frac{PA}{XY}\right)^2+\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=1.$$
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Cosmin Pohoata (theo tài liệu được cung cấp).