USAMO 2023 — Ngày 1 và Ngày 2

Trong tam giác nhọn $ABC$, gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $P$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $AM$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $B,Q$. Gọi $N$ là trung điểm $AQ$. Chứng minh $NB=NC$.

Tác giả đề bài: Holden Mui. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}$ thỏa mãn, với mọi $x,y>0$,

$$f(xy+f(x))=xf(y)+2.$$

Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.

Xét bảng ô vuông đơn vị $n\times n$, với $n$ nguyên dương lẻ. Một cấu hình domino cực đại thẳng theo lưới gồm $(n^2-1)/2$ domino giống nhau, mỗi domino phủ hai ô kề cạnh, không chồng lên nhau; vì thế còn đúng một ô trống. Được phép trượt một domino, không xoay, để nó phủ ô trống và tạo ra một cấu hình mới có một ô trống khác. Gọi $k(C)$ là số cấu hình phân biệt có thể đạt từ cấu hình $C$ qua hữu hạn lần trượt. Tìm tất cả giá trị có thể của $k(C)$ theo $n$.

Tác giả đề bài: Holden Mui. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.

Cố định các số nguyên dương $a,N$ và viết $N$ số nguyên dương trên bảng. Alice và Bob luân phiên đi, Alice đi trước. Mỗi lượt Alice thay một số $n$ bằng $n+a$; mỗi lượt Bob phải thay một số chẵn $n$ bằng $n/2$. Trò chơi kết thúc khi đến lượt Bob mà không có nước đi hợp lệ. Sau khi xem bảng ban đầu, Bob biết rằng mình có chiến lược buộc trò chơi kết thúc bất kể Alice chơi thế nào. Chứng minh rằng với dữ liệu ban đầu này, trò chơi thật ra kết thúc bất kể cả hai người chơi thế nào.

Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.

Cho số nguyên $n\ge3$. Một cách xếp các số $1,2,\ldots,n^2$ vào bảng $n\times n$ gọi là hợp lệ theo hàng nếu các số ở mỗi hàng có thể hoán vị thành một cấp số cộng; định nghĩa hợp lệ theo cột tương tự. Với những giá trị $n$ nào, mọi cách xếp hợp lệ theo hàng đều có thể biến thành cách xếp hợp lệ theo cột bằng cách hoán vị các số trong từng hàng?

Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và các tâm bàng tiếp $I_a,I_b,I_c$ đối diện $A,B,C$. Lấy điểm $D$ trên đường tròn ngoại tiếp $ABC$, không nằm trên các đường $II_a,I_bI_c,BC$. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp $DII_a$ và $DI_bI_c$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $D,F$. Gọi $E$ là giao điểm hai đường thẳng $DF$ và $BC$. Chứng minh $\angle BAD=\angle EAC$.

Tác giả đề bài: Zack Chroman. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.