Cho các số nguyên dương $a,b$. Mỗi ô của bảng $(a+b+1)\times(a+b+1)$ có màu hổ phách hoặc màu đồng, với ít nhất $a^2+ab-b$ ô hổ phách và ít nhất $b^2+ab-a$ ô đồng. Chứng minh có thể chọn $a$ ô hổ phách và $b$ ô đồng sao cho không có hai ô cùng hàng hoặc cùng cột.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774812. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Cho các số nguyên $b,w\ge2$, đặt $n=b+w$. Ghép $2b$ thanh đen và $2w$ thanh trắng dài một đơn vị thành đa giác đều $2n$ cạnh, sao cho các cạnh song song cùng màu. Tịnh tiến các thanh đen thành đa giác lồi $B$ có $2b$ cạnh và các thanh trắng thành đa giác lồi $W$ có $2w$ cạnh. Chứng minh $[B]-[W]$ chỉ phụ thuộc $b,w$, không phụ thuộc cách ghép. Ví dụ trong nguồn có $b=3,w=2$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24775345. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Tìm mọi hàm $f:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}$ sao cho với mọi $x,y>0$,
$$f(x)=f(f(f(x))+y)+f(xf(y))f(x+y).$$
Tác giả đề bài: Hung-Hsun Hans Yu. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774907. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Tìm mọi cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p-q$ và $pq-q$ đều là số chính phương.
Tác giả đề bài: Holden Mui. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774670. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ gọi là tăng thiết yếu nếu $f(s)\le f(t)$ mỗi khi $s\le t$ và cả hai giá trị khác không. Tìm số nguyên nhỏ nhất $k$ sao cho với mọi số thực $x_1,\ldots,x_{2022}$, tồn tại $k$ hàm tăng thiết yếu thỏa
$$\sum_{i=1}^k f_i(n)=x_n\quad(1\le n\le2022).$$
Tác giả đề bài: Gabriel Carroll. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774633. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Mathbook có $2022$ người dùng. Quan hệ bạn bè luôn hai chiều và không bị xóa. Chỉ được tạo quan hệ bạn bè mới giữa hai người đã có ít nhất hai bạn chung. Ban đầu cần ít nhất bao nhiêu quan hệ để cuối cùng mọi người đều có thể là bạn của nhau?
Tác giả đề bài: Yannick Yao. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774626. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
