Cho tập hợp $S$ gồm $2002$ phần tử và số nguyên $N$ thỏa mãn $0\le N\le 2^{2002}$. Chứng minh rằng có thể tô mỗi tập con của $S$ màu đen hoặc trắng sao cho:
(a) hợp của hai tập con màu trắng bất kỳ có màu trắng;
(b) hợp của hai tập con màu đen bất kỳ có màu đen;
(c) có đúng $N$ tập con màu trắng.
Người đề xuất bài toán được nguồn ghi nhận: Gabriel Carroll.
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn
$$\left(\cot\frac A2\right)^2+\left(2\cot\frac B2\right)^2+\left(3\cot\frac C2\right)^2=\left(\frac{6s}{7r}\right)^2,$$
trong đó $s$ là nửa chu vi và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $ABC$ đồng dạng với một tam giác có độ dài các cạnh là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng $1$, và tìm các số nguyên đó.
Chứng minh rằng mọi đa thức đơn khởi (tức có hệ số cao nhất bằng $1$) bậc $n$ với hệ số thực đều là trung bình cộng của hai đa thức đơn khởi bậc $n$, mỗi đa thức có $n$ nghiệm thực.
Cho hai số nguyên $a,b$ lớn hơn $2$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ và một dãy hữu hạn các số nguyên dương $n_1,\ldots,n_k$ sao cho $n_1=a$, $n_k=b$ và $n_in_{i+1}$ chia hết cho $n_i+n_{i+1}$ với mọi $1\le i\lt k$.
Người đề xuất bài toán được nguồn ghi nhận: Gabriel Carroll.
Có một tờ tem hình vuông $n\times n$. Ta được xé ra các khối gồm ba tem liên tiếp trên cùng một hàng hoặc một cột. Chỉ được xé theo đường răng cưa ngăn các tem kề nhau, và mỗi khối phải được lấy ra nguyên một mảnh. Gọi $b(n)$ là số khối nhỏ nhất có thể xé ra để không thể xé thêm khối nào nữa. Chứng minh rằng tồn tại các hằng số thực $c,d$ sao cho
$$\frac17n^2-cn\le b(n)\le\frac15n^2+dn$$
với mọi số nguyên dương $n$.