USAMO 2011 — Ngày 1 và Ngày 2

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\le4$. Chứng minh

\[\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\ge3.\]

Mỗi đỉnh của một ngũ giác đều được gán một số nguyên, tổng năm số là $2011$. Một lượt chơi trừ cùng một số nguyên $m$ (có thể âm) tại hai đỉnh kề nhau và cộng $2m$ tại đỉnh không kề với cả hai đỉnh đó. Có thể thay đổi $m$ và các đỉnh ở mỗi lượt. Thắng tại một đỉnh nghĩa là sau hữu hạn lượt, số tại đỉnh đó bằng $2011$ và bốn số còn lại bằng $0$. Chứng minh với mọi cấu hình ban đầu, có đúng một đỉnh có thể thắng.

Trong lục giác $ABCDEF$ không lồi nhưng không tự cắt, không có cặp cạnh đối nào song song. Các góc trong thỏa mãn $\angle A=3\angle D$, $\angle C=3\angle F$, $\angle E=3\angle B$; đồng thời $AB=DE$, $BC=EF$, $CD=FA$. Chứng minh các đường chéo $AD,BE,CF$ đồng quy.

Xét khẳng định: với mỗi số nguyên $n\ge2$, số dư khi chia $2^{2^n}$ cho $2^n-1$ là một lũy thừa của $4$. Hãy chứng minh khẳng định hoặc đưa ra phản ví dụ kèm chứng minh.

Cho $P$ nằm trong tứ giác lồi $ABCD$. Các điểm $Q_1,Q_2$ nằm trong tứ giác và thỏa mãn

\[\begin{aligned}\angle Q_1BC&=\angle ABP,&\angle Q_1CB&=\angle DCP,\\\angle Q_2AD&=\angle BAP,&\angle Q_2DA&=\angle CDP.\end{aligned}\]

Chứng minh $Q_1Q_2\parallel AB$ khi và chỉ khi $Q_1Q_2\parallel CD$.

Cho tập $A$ có $225$ phần tử và mười một tập con $A_1,\ldots,A_{11}$ sao cho $|A_i|=45$ và $|A_i\cap A_j|=9$ khi $i\lt j$. Chứng minh $|A_1\cup\cdots\cup A_{11}|\ge165$ và xây dựng ví dụ đạt dấu bằng.