Cho hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$ cắt nhau tại $X,Y$. Đường thẳng $\ell_1$ qua tâm $\omega_1$ cắt $\omega_2$ tại $P,Q$; đường thẳng $\ell_2$ qua tâm $\omega_2$ cắt $\omega_1$ tại $R,S$. Chứng minh rằng nếu $P,Q,R,S$ cùng nằm trên một đường tròn thì tâm của đường tròn ấy nằm trên $XY$.
Tác giả đề bài: Ian Le (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Cho số nguyên dương $n$. Xác định số phần tử lớn nhất của một tập con của $\{-n,-n+1,\ldots,n-1,n\}$ không chứa ba phần tử $a,b,c$ (không nhất thiết phân biệt) thỏa $a+b+c=0$.
Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya, Tewordos Amdeberhan (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Đa giác bàn cờ là một đa giác đơn có các cạnh nằm trên các đường $x=a$ hoặc $y=b$, với $a,b$ nguyên. Các đường ấy chia miền trong thành các ô vuông đơn vị, tô xám và trắng xen kẽ để hai ô chung cạnh khác màu. Lát bằng domino nghĩa là phủ chính xác miền bằng các hình chữ nhật $1\times2$ không chồng lên nhau. Một cách lát có thẩm mỹ là cách lát tránh hai mẫu màu và domino ở bên trái hình dưới. Hai hình bên phải là hai cách lát bảng $3\times4$: hình đầu có thẩm mỹ, hình sau không có vì cặp domino dọc góc trên phải.
Chứng minh: (a) nếu đa giác bàn cờ lát được bằng domino thì có thể lát có thẩm mỹ; (b) cách lát có thẩm mỹ đó là duy nhất.
Tác giả đề bài: Sam Vandervelde (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Với $n\ge2$, cho các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa $$\left(a_1+\cdots+a_n\right)\left(\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}\right)\le\left(n+\frac12\right)^2.$$ Chứng minh $\max(a_1,\ldots,a_n)\le4\min(a_1,\ldots,a_n)$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Hình thang $ABCD$, với $AB\parallel CD$, nội tiếp đường tròn $\omega$. Điểm $G$ nằm trong tam giác $BCD$. Các tia $AG,BG$ cắt lại $\omega$ lần lượt tại $P,Q$. Đường qua $G$ song song $AB$ cắt $BD,BC$ lần lượt tại $R,S$. Chứng minh tứ giác $PQRS$ nội tiếp khi và chỉ khi $BG$ là phân giác $\angle CBD$.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
Cho hai dãy vô hạn không hằng gồm các số hữu tỉ $s_1,s_2,s_3,\ldots$ và $t_1,t_2,t_3,\ldots$. Giả sử $(s_i-s_j)(t_i-t_j)$ là số nguyên với mọi $i,j$. Chứng minh tồn tại số hữu tỉ $r$ sao cho $(s_i-s_j)r$ và $(t_i-t_j)/r$ đều là số nguyên với mọi $i,j$.
Tác giả đề bài: Gabriel Carroll (theo ghi nhận trong tài liệu lời giải bên thứ ba).
