Annie bắt đầu với một hàng số nguyên dương, mỗi số là lũy thừa của $2$. Mỗi lượt, cô xóa hai số đứng cạnh nhau và thay bằng một lũy thừa của $2$ lớn hơn cả hai số đã xóa. Cô tiếp tục đến khi chỉ còn một số. Annie thắng nếu số cuối nhỏ hơn $4$ lần tổng các số ban đầu. Có phải Annie luôn có thể thắng, bất kể hàng số ban đầu?
Tác giả đề bài: Andrew Dittmer.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba cạnh đôi một khác nhau và không góc nào bằng $60^\circ$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp. Tam giác đều $\Delta_B$ có ba đỉnh trên $\omega$, trong đó một đỉnh là $B$; đường thẳng $\ell_B$ đi qua hai đỉnh còn lại. Định nghĩa $\Delta_C,\ell_C$ tương tự. Đặt $Y=AC\cap\ell_B$, $Z=AB\cap\ell_C$. Gọi $N$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ trên $\omega$. Ba đường $\ell_B,\ell_C$ và tiếp tuyến của $\omega$ tại $N$ tạo thành tam giác $\mathcal R$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $AYZ$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp $\mathcal R$.
Tác giả đề bài: Rogelio Guerrero.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Số nguyên dương $n$ được gọi là đơn độc nếu với mọi số nguyên không âm $a,b$ thỏa $a+b=n$, ít nhất một trong hai số $a,b$ có chữ số $1$. Xác định và chứng minh số lượng số đơn độc nhỏ hơn $10^{2026}$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$ và thỏa mãn
$$\angle AFE=\angle BDF=\angle CED.$$
Gọi $O_A,O_B,O_C$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $AFE,BDF,CED$. Gọi $M,N,O$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,DEF,O_AO_BO_C$. Chứng minh $OM=ON$.
Tác giả đề bài: Serena An.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^2+b^2+1$ chia hết cho $\varphi(ab+1)$, tức $\varphi(ab+1)\mid a^2+b^2+1$, trong đó $\varphi$ là hàm Euler. Chứng minh $a,b$ đều là số Fibonacci.
Tác giả đề bài: Raymond Feng and Eric Shen.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.