Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa $b-d\ge5$ và cả bốn nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ của $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ đều thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo tài liệu được cung cấp).
Chứng minh tồn tại tập điểm vô hạn $\{P_n:n\in\mathbb Z\}$ trong mặt phẳng sao cho với ba số nguyên phân biệt bất kỳ $a,b,c$, các điểm $P_a,P_b,P_c$ thẳng hàng khi và chỉ khi $a+b+c=2014$.
Tác giả đề bài: Sam Vandervelde (theo tài liệu được cung cấp).
Trên lưới lục giác đều vô hạn ban đầu trống, hai người $A,B$ luân phiên, $A$ đi trước. Mỗi lượt $A$ đặt quân vào hai ô trống kề nhau; mỗi lượt $B$ bỏ một quân bất kỳ. $A$ thắng ngay khi có $k$ ô liên tiếp trên một đường thẳng đều có quân. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất mà $A$ không thể buộc thắng sau hữu hạn lượt, hoặc chứng minh không có giá trị nhỏ nhất ấy.
Tác giả đề bài: Palmer Mebane (theo tài liệu được cung cấp).
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $AHC$ với phân giác trong của $\angle BAC$. Gọi $X$ là tâm ngoại tiếp $APB$ và $Y$ là trực tâm $APC$. Chứng minh $XY$ bằng bán kính ngoại tiếp $ABC$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Cosmin Pohoata (theo tài liệu được cung cấp).
Chứng minh tồn tại hằng số $c>0$ sao cho nếu các số nguyên dương $a,b,n$ thỏa $\gcd(a+i,b+j)>1$ với mọi $i,j\in\{0,1,\ldots,n\}$ thì
$$\min\{a,b\}>(cn)^{n/2}.$$
Tác giả đề bài: Gabriel Dospinescu (theo tài liệu được cung cấp).