Ngân hàng câu hỏi USAMO 2015

Tìm mọi cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $$x^2+xy+y^2=\left(\frac{x+y}{3}+1\right)^3.$$

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo Evan Chen).

Tứ giác $APBQ$ nội tiếp đường tròn $\omega$, có $\angle P=\angle Q=90^\circ$ và $AP=AQ\lt BP$. Điểm $X$ thay đổi trên đoạn $PQ$. Đường $AX$ cắt lại $\omega$ tại $S\ne A$. Điểm $T$ nằm trên cung $AQB$ sao cho $XT\perp AX$. Gọi $M$ là trung điểm dây $ST$. Chứng minh rằng khi $X$ thay đổi, $M$ nằm trên một đường tròn cố định.

Tác giả đề bài: Zuming Feng, Jacek Fabrykowski (theo Evan Chen).

Cho $S=\{1,2,\ldots,n\}$, $n\ge1$. Tô mỗi tập con của $S$ bằng đỏ hoặc xanh (tô cả tập, không tô từng phần tử). Với $T\subseteq S$, gọi $f(T)$ là số tập con của $T$ được tô xanh. Tìm số cách tô thỏa mãn $$f(T_1)f(T_2)=f(T_1\cup T_2)f(T_1\cap T_2)$$ với mọi $T_1,T_2\subseteq S$.

Tác giả đề bài: Gabriel Carroll (theo Evan Chen).

Steve xếp $m\ge1$ viên đá giống nhau trên bảng $n\times n$, mỗi ô có thể chứa tùy ý nhiều đá. Một phép chuyển chọn hai hàng $i\lt j$ và hai cột $k\lt l$, lấy một viên ở mỗi ô $(i,k),(j,l)$ rồi chuyển sang $(i,l),(j,k)$, hoặc làm ngược lại; chỉ được lấy đá ở ô đang có đá. Hai cách xếp tương đương nếu biến đổi được qua hữu hạn phép chuyển. Có bao nhiêu lớp cách xếp không tương đương?

Tác giả đề bài: Maria Monks Gillespie (theo Evan Chen).

Cho $a,b,c,d,e$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau, thỏa mãn $a^4+b^4=c^4+d^4=e^5$. Chứng minh $ac+bd$ là hợp số.

Tác giả đề bài: Mohsen Jamaali (theo Evan Chen).

Cố định $0\lt \lambda\lt 1$. Cho $A$ là một đa tập số nguyên dương và $A_n=\{a\in A:a\le n\}$, có tính số lần xuất hiện. Giả sử với mọi số nguyên dương $n$, đa tập $A_n$ chứa không quá $n\lambda$ phần tử. Chứng minh có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho tổng các phần tử của $A_n$ không vượt quá $\lambda n(n+1)/2$.

Tác giả đề bài: Iurie Boreico (theo Evan Chen).