Cho số nguyên dương $n$. Đặt $a_1=n$; với mỗi $k>1$, chọn duy nhất số nguyên $a_k$ trong khoảng $0\le a_k\le k-1$ sao cho $a_1+\cdots+a_k$ chia hết cho $k$. Chẳng hạn, khi $n=9$, dãy thu được là $9,1,2,0,3,3,3,\ldots$. Chứng minh rằng với mọi $n$, dãy cuối cùng trở thành hằng.
Tác giả đề bài: Sam Vandervelde; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p825490
Có thể phủ tất cả các điểm nguyên trong $\mathbb{R}^2$ bằng một họ vô hạn các hình tròn có phần trong đôi một rời nhau, sao cho bán kính mỗi hình tròn không nhỏ hơn $5$, hay không?
Tác giả đề bài: Gregory Galperin; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p825495
Cho tập $S$ có $n^2+n-1$ phần tử. Chia các tập con $n$ phần tử của $S$ thành hai lớp. Chứng minh rằng có ít nhất $n$ tập đôi một rời nhau cùng thuộc một lớp.
Tác giả đề bài: Andras Gyarfas; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p825499
Một con vật gồm $n$ ô là một hình liên thông gồm $n$ ô vuông bằng nhau (một polyomino gồm $n$ ô, liên thông qua cạnh). Một khủng long là con vật có ít nhất $2007$ ô. Nó được gọi là nguyên thủy nếu không thể chia các ô thành từ hai khủng long trở lên. Tìm và chứng minh số ô lớn nhất của một khủng long nguyên thủy.
Tác giả đề bài: Reid Barton; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p825505
Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường tròn nội tiếp $\omega$, đường tròn ngoại tiếp $S$ và bán kính ngoại tiếp $R$. Đường tròn $\omega_A$ tiếp xúc trong với $S$ tại $A$ và tiếp xúc ngoài với $\omega$. Đường tròn $S_A$ tiếp xúc trong với $S$ tại $A$ và tiếp xúc trong với $\omega$ (chứa $\omega$). Gọi $P_A,Q_A$ lần lượt là tâm của $\omega_A,S_A$; xác định tương tự $P_B,Q_B,P_C,Q_C$. Chứng minh
$$8P_AQ_A\cdot P_BQ_B\cdot P_CQ_C\le R^3,$$
với dấu bằng khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.
Tác giả đề bài: Sung-Yoon Kim; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p825515