Cho $100$ tập hữu hạn số nguyên $S_1,\ldots,S_{100}$ có giao chung khác rỗng. Với mỗi họ con không rỗng gồm $t$ tập, số phần tử của giao các tập ấy chia hết cho $t$. Số phần tử nhỏ nhất có thể thuộc ít nhất $50$ tập là bao nhiêu?
Tác giả đề bài: Rishabh Das. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho các số nguyên dương $(m,n)$ với $n\ge3$. Vẽ một đa giác đều $n$ cạnh rồi chia nó thành $n-2$ tam giác bằng các đường chéo không cắt nhau bên trong. Tô mỗi tam giác bằng một trong $m$ màu sao cho tổng diện tích của mỗi màu đều bằng nhau. Tìm tất cả cặp $(m,n)$ thực hiện được.
Tác giả đề bài: Krit Boonsiriseth. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Một vòng hạt gồm $mn$ hạt, mỗi hạt đỏ hoặc xanh lam. Bất kể cắt vòng thành $m$ đoạn, mỗi đoạn gồm $n$ hạt liên tiếp, số hạt đỏ trong các đoạn đều đôi một khác nhau. Xác định và chứng minh mọi cặp $(m,n)$ có thể.
Tác giả đề bài: Rishabh Das. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle DAC=\angle ACB$ và $\angle BDC=90^\circ+\angle BAC$. Chọn $E$ trên tia $BD$ sao cho $AE=EC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh đường thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEM$.
Tác giả đề bài: Anton Trygub. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho số nguyên $n>2$ và $\ell\in\{1,\ldots,n\}$. Một họ $A_1,\ldots,A_k$ gồm các tập con không nhất thiết phân biệt của $[n]=\{1,\ldots,n\}$ gọi là lớn mức $\ell$ nếu $|A_i|\ge\ell$ với mọi $i$. Tìm số thực lớn nhất $c$, theo $n,\ell$, sao cho với mọi số nguyên dương $k$, mọi $x_1,\ldots,x_k\ge0$ và mọi họ lớn mức $\ell$,