USAMO 2021 — Ngày 1 và Ngày 2

Dựng các hình chữ nhật $BCC_1B_2$, $CAA_1C_2$, $ABB_1A_2$ ra ngoài tam giác nhọn $ABC$. Giả sử

$$\angle BC_1C+\angle CA_1A+\angle AB_1B=180^\circ.$$

Chứng minh $B_1C_2$, $C_1A_2$, $A_1B_2$ đồng quy.

Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498558; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=890. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Công viên Planar là đồ thị phẳng vô hướng bậc ba: mỗi đỉnh có ba cạnh. Một khách bắt đầu từ một đỉnh, đi theo một cạnh, rồi rẽ trái tại đỉnh kế tiếp, rẽ phải ở đỉnh sau và tiếp tục luân phiên trái, phải. Cô dừng khi trở lại đỉnh xuất phát. Trong mọi cách bố trí công viên, số lần nhiều nhất cô có thể đi vào một đỉnh là bao nhiêu?

Tác giả đề bài: Zoran Sunic. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498640; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=1325. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Cho số nguyên $n\ge2$. Ban đầu bảng $n\times n$ trống. Mỗi phút được đặt sỏi vào ba ô trống tạo chữ L theo hướng cố định (không được quay), hoặc lấy hết sỏi khỏi một hàng đầy, hoặc khỏi một cột đầy. Chữ L gồm ô dưới-trái, dưới-phải và trên-trái.



Với những $n$ nào tồn tại dãy thao tác có ít nhất một bước đưa bảng trở về trống?

Tác giả đề bài: Alex Zhai, Shaunak Kishore. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498538; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=2325. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Tập hữu hạn $S$ các số nguyên dương có tính chất: với mọi $s\in S$ và mọi ước dương $d$ của $s$, có đúng một $t\in S$ thỏa $\gcd(s,t)=d$; cho phép $s=t$. Tìm mọi giá trị có thể của số phần tử của $S$.

Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498580; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=1008. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Cho $n\ge4$. Tìm mọi nghiệm thực dương của hệ tuần hoàn $2n$ phương trình dưới đây, chỉ số tính modulo $2n$:

$$\begin{aligned}a_1&=\frac1{a_{2n}}+\frac1{a_2},&a_2&=a_1+a_3,\\ a_3&=\frac1{a_2}+\frac1{a_4},&a_4&=a_3+a_5,\\ a_5&=\frac1{a_4}+\frac1{a_6},&a_6&=a_5+a_7,\\ &\vdots&&\vdots\\ a_{2n-1}&=\frac1{a_{2n-2}}+\frac1{a_{2n}},&a_{2n}&=a_{2n-1}+a_1.\end{aligned}$$

Tác giả đề bài: Mohsen Jamaali. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498967; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=1700. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Cho lục giác lồi $ABCDEF$ có $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$ và

$$AB\cdot DE=BC\cdot EF=CD\cdot FA.$$

Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm $AD,BE,CF$. Chứng minh tâm ngoại tiếp của $ACE$, tâm ngoại tiếp của $BDF$ và trực tâm của $XYZ$ thẳng hàng. Giữ nguyên phạm vi đề gốc; xem cảnh báo suy biến rõ ràng trong lời giải.

Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498548; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=2930. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.