USAMO 2012 — Ngày 1 và Ngày 2

Tìm tất cả số nguyên $n\ge3$ sao cho với mọi $n$ số thực dương $a_1,\ldots,a_n$ thỏa mãn $\max(a_1,\ldots,a_n)\le n\min(a_1,\ldots,a_n)$, luôn chọn được ba số là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.

Một đường tròn được chia thành các cung bằng nhau bởi $432$ điểm. Tô bốn màu sao cho mỗi màu đỏ, lục, lam, vàng có đúng $108$ điểm. Chứng minh có thể chọn ba điểm mỗi màu để bốn tam giác đơn sắc tương ứng bằng nhau.

Tìm những số nguyên $n\gt 1$ sao cho tồn tại dãy vô hạn các số nguyên khác $0$, $a_1,a_2,\ldots$, thỏa mãn $a_k+2a_{2k}+\cdots+na_{nk}=0$ với mọi số nguyên dương $k$.

Tìm mọi hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$, với $\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$, sao cho $f(n!)=f(n)!$ với mọi $n\ge1$ và $m-n$ là ước của $f(m)-f(n)$ với mọi số nguyên dương phân biệt $m,n$.

Cho $P$ là một điểm trong mặt phẳng tam giác $ABC$ và $\gamma$ là đường thẳng qua $P$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là giao điểm của ảnh đối xứng các đường $PA,PB,PC$ qua $\gamma$ với các đường $BC,CA,AB$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.

Cho $n\ge2$ và các số thực $x_1,\ldots,x_n$ thỏa mãn $\sum_i x_i=0$, $\sum_i x_i^2=1$. Với mỗi tập con $A\subseteq\{1,\ldots,n\}$, đặt $S_A=\sum_{i\in A}x_i$, và $S_\varnothing=0$. Chứng minh với mọi $\lambda\gt 0$, số tập $A$ có $S_A\ge\lambda$ không vượt quá $2^{n-3}/\lambda^2$. Xác định tất cả trường hợp dấu bằng.