Một đa giác lồi $\mathcal P$ trong mặt phẳng được chia thành các đa giác lồi nhỏ hơn bằng cách vẽ tất cả các đường chéo. Độ dài mọi cạnh và mọi đường chéo của $\mathcal P$ đều là số hữu tỉ. Chứng minh độ dài mọi cạnh của mọi đa giác trong phép chia cũng đều là số hữu tỉ.
Cho số nguyên dương $n$. Với mỗi dãy số nguyên $A=(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ thỏa mãn $0\le a_i\le i$, xác định $t(A)=(t(a_0),t(a_1),\ldots,t(a_n))$, trong đó $t(a_i)$ là số số hạng đứng trước $a_i$ trong $A$ và khác $a_i$. Chứng minh rằng từ bất kỳ dãy $A$ như vậy, sau ít hơn $n$ lần áp dụng $t$, ta thu được một dãy $B$ thỏa mãn $t(B)=B$.
Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn đi qua $A,B$ cắt các đoạn $AC,BC$ lần lượt tại $D,E$. Hai đường thẳng $AB,DE$ cắt nhau tại $F$, còn hai đường thẳng $BD,CF$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $MF=MC$ khi và chỉ khi $MB\cdot MD=MC^2$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu và Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn được cung cấp).
Tại các đỉnh của một lục giác đều ghi sáu số nguyên không âm có tổng bằng $2003^{2003}$. Bert được chọn một đỉnh và thay số tại đó bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số tại hai đỉnh kề. Chứng minh Bert có thể thực hiện một dãy bước đi để cuối cùng cả sáu đỉnh đều ghi số $0$.