Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại các số nguyên $k_0,\ldots,k_n$ đôi một nguyên tố cùng nhau, đều lớn hơn $1$, sao cho $k_0k_1\cdots k_n-1$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p1116186
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Đường trung trực của $AB$ và $AC$ cắt tia $AM$ lần lượt tại $D,E$. Hai đường thẳng $BD,CE$ cắt nhau tại $F$ nằm trong tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.
Tác giả đề bài: Zuming Feng; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p1116181
Cho số nguyên dương $n$. Gọi $S_n$ là tập các điểm nguyên $(x,y)$ thỏa
$$|x|+\left|y+\frac12\right|<n.$$
Một đường đi là dãy các điểm phân biệt $(x_1,y_1),\ldots,(x_\ell,y_\ell)$ trong $S_n$ sao cho khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp bằng $1$. Chứng minh rằng không thể chia các điểm của $S_n$ thành ít hơn $n$ đường đi.
Tác giả đề bài: Gabriel Carroll; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p1116367
Trên bảng có ba số thực không âm $r_1,r_2,r_3$. Biết rằng tồn tại các số nguyên $a_1,a_2,a_3$, không đồng thời bằng không, sao cho $a_1r_1+a_2r_2+a_3r_3=0$. Ta được phép chọn hai số $x\le y$ trên bảng, xóa $y$ và thay bằng $y-x$. Chứng minh rằng sau hữu hạn phép toán có thể thu được ít nhất một số $0$ trên bảng.
Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p1116189
Tại một hội nghị toán học, mỗi cặp người tham dự hoặc là bạn hoặc là người lạ. Vào bữa ăn, mỗi người ăn ở một trong hai phòng lớn. Mỗi người yêu cầu trong cùng phòng có một số chẵn bạn của mình. Chứng minh rằng số cách chia những người tham dự vào hai phòng là một lũy thừa của hai, tức có dạng $2^k$ với số nguyên dương $k$.
Tác giả đề bài: Sam Vandervelde; thảo luận trong nguồn: https://aops.com/community/p1116182