Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$ tâm $O$. Điểm $X$ thay đổi trên cung nhỏ $AB$, và $CX$ cắt $AB$ tại $D$. Gọi $O_1,O_2$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $ADX,BDX$. Tìm mọi $X$ để $[OO_1O_2]$ nhỏ nhất.
Tác giả đề bài: Zuming Feng. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=2070
Một lập phương rỗng $2020\times2020\times2020$ có lưới ô vuông đơn vị trên mỗi mặt. Mỗi thanh là lăng trụ $1\times1\times2020$. Hai mặt đơn vị của thanh trùng với ô lưới trên hai mặt đối diện; phần trong các thanh rời nhau; và phần trong của mỗi mặt dài phải chạm một mặt hộp hoặc phần trong một mặt của thanh khác. Tìm số thanh dương nhỏ nhất có thể đặt.
Tác giả đề bài: Alex Zhai. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=2440
Cho số nguyên tố lẻ $p$. Số nguyên $x$ là bất thặng dư bậc hai nếu $x\not\equiv t^2\pmod p$ với mọi số nguyên $t$. Gọi $A$ gồm các số nguyên $1\le a\lt p$ sao cho cả $a$ và $4-a$ đều là bất thặng dư bậc hai. Tìm số dư của $\prod_{a\in A}a$ theo môđun $p$.
Tác giả đề bài: Richard Stong, Toni Bluher. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=3240
Cho $(a_1,b_1),\ldots,(a_{100},b_{100})$ là các cặp có thứ tự phân biệt gồm số nguyên không âm. Gọi $N$ là số cặp $1\le i\lt j\le100$ thỏa $|a_ib_j-a_jb_i|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $N$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=4530
Tập hữu hạn $S$ gồm các điểm trong mặt phẳng gọi là quá xác định nếu $|S|\ge2$ và tồn tại đa thức thực khác không $P$ bậc không quá $|S|-2$ thỏa $P(x)=y$ tại mọi $(x,y)\in S$. Với mỗi $n\ge2$, tìm số tập con quá xác định lớn nhất của một tập n điểm mà bản thân cả tập không quá xác định.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=5420