Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên $s$ với $0 \lt s \lt p$. Chứng minh tồn tại các số nguyên $m,n$ thỏa $0 \lt m \lt n \lt p$ và $$\left\{\frac{sm}{p}\right\} \lt \left\{\frac{sn}{p}\right\} \lt \frac{s}{p}$$ khi và chỉ khi $s$ không là ước của $p-1$. Dấu ngoặc nhọn chỉ phần lẻ.
Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya (theo nguồn được cung cấp).
Cho số nguyên cố định $k>0$. Tính số nguyên nhỏ nhất $N$ theo $k$ sao cho tồn tại tập gồm $2k+1$ số nguyên dương phân biệt có tổng lớn hơn $N$, nhưng mọi tập con gồm $k$ phần tử đều có tổng không vượt $N/2$.
Tác giả đề bài: Dick Gibbs (theo nguồn được cung cấp).
Với số nguyên $m$, gọi $p(m)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $m$ (hiểu theo $|m|$). Quy ước $p(\pm1)=1$ và $p(0)=\infty$. Tìm tất cả đa thức $f$ có hệ số nguyên sao cho dãy $$\{p(f(n^2))-2n\}_{n\ge0}$$ bị chặn trên. Đặc biệt, điều kiện này đòi hỏi $f(n^2)\ne0$ với mọi số nguyên $n\ge0$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu (theo nguồn được cung cấp).
Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên $k\ge2$ và các số hữu tỉ dương $a_1,\ldots,a_k$ thỏa $$a_1+a_2+\cdots+a_k=a_1a_2\cdots a_k=n.$$
Tác giả đề bài: Ricky Liu (theo nguồn được cung cấp).
Một con ếch toán học nhảy trên trục số, bắt đầu tại $1$. Nếu đang ở số nguyên $n$, nó được nhảy đến $n+1$ hoặc $n+2^{m_n+1}$, trong đó $2^{m_n}$ là lũy thừa lớn nhất của $2$ chia hết $n$. Chứng minh với mọi số nguyên $k\ge2$ và số nguyên $i\ge0$, số bước nhảy ít nhất để tới $2^ik$ lớn hơn số bước nhảy ít nhất để tới $2^i$.
Tác giả đề bài: Zoran Sunik (theo nguồn được cung cấp).
Cho tứ giác $ABCD$. Các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $AD,BC$ sao cho $AE/ED=BF/FC$. Tia $FE$ cắt các tia $BA,CD$ lần lượt tại $S,T$. Chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp các tam giác $SAE,SBF,TCF,TDE$ cùng đi qua một điểm.
Tác giả đề bài: Zuming Feng, Zhonghao Ye (theo nguồn được cung cấp).