Trong lễ hội Naadam, ba chiến binh tên là Andy, Ben và Charlie tham gia cuộc đua ngựa dài $1$ km trên thảo nguyên Mông Cổ rộng lớn. Ngựa của mỗi người chạy với tốc độ không đổi trong suốt cuộc đua. Khi Andy qua vạch đích, Ben còn cách Andy $40$ mét phía sau. Khi Ben qua vạch đích, Charlie còn cách Ben $25$ mét phía sau. Đúng vào lúc Andy qua vạch đích, Charlie cách Andy bao nhiêu mét phía sau?
Trong một bữa tiệc có $200$ người, mỗi người hoặc là người nói dối (luôn nói dối), hoặc là người nói thật (luôn nói thật). Trong bữa tiệc, một số người bắt tay nhau. Tuy nhiên, căn phòng quá tối nên không thể xác định những cặp nào đã bắt tay.
Sau bữa tiệc, mỗi người được hỏi:
“Bạn đã bắt tay với bao nhiêu người nói thật?”
Người thứ $n$ trả lời là $n-1$, với $n=1,2,3,\ldots,200$.
Cho
$$A=\frac{4051\times4051}{2026\times2025}-\frac{2025\times2025}{2026\times4051}-\frac{2026\times2026}{2025\times4051}.$$
Giá trị của $A$ bằng bao nhiêu?
Có $20$ học sinh tham dự đêm giao lưu văn hóa MIMC, trong đó mỗi bạn nam bắt tay đúng một lần với từng học sinh khác. Nếu các bạn nữ không bắt tay với nhau và tổng cộng có đúng $145$ lần bắt tay thì có bao nhiêu bạn nữ tham dự đêm giao lưu này?
Hình dưới đây là một lưới $6$ nhân $6$, trong đó mỗi ô vuông đơn vị có cạnh dài $7$ cm. Mỗi đường cong là một phần tư đường tròn, có bán kính bằng một hoặc nhiều lần độ dài cạnh một ô vuông đơn vị. Diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu cm²? (Chú ý: Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.)
Giải FIFA World Cup $2026$ gồm $48$ đội, được chia thành $12$ bảng, mỗi bảng có $4$ đội. Trong mỗi bảng, mỗi đội gặp từng đội còn lại đúng một lần. Mỗi trận thắng được $3$ điểm, hòa được $1$ điểm, thua được $0$ điểm. Sau khi tất cả các trận vòng bảng kết thúc, có đúng $k$ đội đạt $6$ điểm. Giá trị lớn nhất có thể của $k$ là bao nhiêu?
Như hình dưới đây, $ABCD$ là một tứ giác lồi, các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB,BC,CD,AD$ sao cho
$$\frac{AM}{MB}=\frac35,\qquad\frac{BN}{NC}=\frac13,\qquad\frac{CP}{PD}=\frac45,\qquad\frac{DQ}{QA}=\frac18.$$
Nếu diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $45$ cm² thì diện tích lục giác $MBNPDQ$ bằng bao nhiêu cm²?
Ban đầu có $5051$ chiếc lọ, mỗi lọ chứa đúng một viên kẹo. Trong mỗi lượt, lấy ra một viên kẹo từ mỗi lọ không rỗng, sau đó thêm một lọ rỗng mới và cho tất cả số kẹo vừa lấy ra trong lượt đó vào lọ mới. Sau $5051$ lượt, số kẹo lớn nhất trong một lọ là bao nhiêu?
Trong khoảng thời gian $40$ ngày, Andy tiết kiệm tiền mỗi ngày, trừ $4$ ngày bỏ qua. Vào ngày thứ $n$, với $1\le n\le40$, nếu không bỏ qua ngày đó thì Andy tiết kiệm $n$ đô-la; nếu bỏ qua thì không tiết kiệm đồng nào. Bốn ngày bỏ qua tạo thành hai cặp ngày liên tiếp không giao nhau, và giữa hai cặp có ít nhất một ngày. Andy không bao giờ bỏ quá hai ngày liên tiếp. Nếu tổng số tiền Andy tiết kiệm trong bốn mươi ngày là $766$ đô-la thì có bao nhiêu cách chọn các ngày bỏ qua?
Như hình dưới đây, một con ếch nhảy theo đường xoắn ốc tam giác, bắt đầu tại điểm $P_0$ (biểu thị số $0$). Đường đi gồm các đoạn thẳng có độ dài tăng thêm một đơn vị sau mỗi lần đổi hướng: đoạn thứ nhất dài $1$, đoạn thứ hai dài $2$, đoạn thứ ba dài $3$, và cứ tiếp tục như vậy.
Mỗi bước nhảy đưa ếch đi đúng một đơn vị dọc theo đường đi đến điểm được đánh số tiếp theo. (Ví dụ, bước nhảy $1$ đến điểm $1$, bước nhảy $2$ đến điểm $2$, bước nhảy $3$ đến điểm $3$, và cứ như thế.) Theo quy luật này, ếch đến điểm $P_1$ (vị trí $6$) sau $6$ bước nhảy và điểm $P_2$ (vị trí $21$) sau $21$ bước nhảy.
Gọi $P_n$ là điểm thứ $n$ trên đường thẳng đứng được vẽ. Ếch phải nhảy bao nhiêu bước để đi từ $P_0$ đến điểm $P_{14}$?
Xét tất cả các số đối xứng có năm chữ số $\overline{abcba}$, với $a\ne0$, chia hết cho $99$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số đó. Giá trị của $M+m$ bằng bao nhiêu?
Trên bảng có ba số nguyên dương có bốn chữ số. Nếu thay mọi chữ số $2$ trong ba số đó bằng chữ số $3$ thì tổng ba số thu được là $15301$. Nếu thay mọi chữ số $4$ trong ba số ban đầu bằng chữ số $7$ thì tổng ba số thu được là $16176$. Tổng ba số ban đầu bằng bao nhiêu?
Cho $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ là một hoán vị của các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$. Có bao nhiêu hoán vị khác nhau thỏa mãn các điều kiện sau?
$$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5,$$
$$x_6<x_7<x_8<x_9<x_{10},$$
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5<x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}.$$
Như Hình 1, có ba đoạn dốc được tạo bởi ba cung tròn tiếp xúc liên tiếp: một cung một phần tư đường tròn bán kính $21$ cm, tiếp theo là một cung một phần tư đường tròn bán kính $35$ cm, rồi đến một nửa đường tròn bán kính $21$ cm. Như Hình 2, một đĩa tròn bán kính $7$ cm lăn dọc theo dốc từ đầu mút bên trái đến đầu mút bên phải, không trượt và luôn tiếp xúc với dốc. Tổng diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của miền mà đĩa phủ lên trong khi lăn là bao nhiêu? (Chú ý: Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.)
Hình 1 ở bên trái; Hình 2 ở bên phải. Các đĩa tô đen đánh dấu vị trí bắt đầu và kết thúc.
Alex bắt đầu bằng cách viết số $100$ lên một tờ giấy. Từ số thứ hai trở đi, mỗi số được viết bằng tổng của số ngay trước đó và thừa số nguyên tố lớn nhất của số ấy. Chẳng hạn, số thứ hai là $100+5=105$ vì thừa số nguyên tố lớn nhất của $100$ là $5$, và số thứ ba là $105+7=112$ vì thừa số nguyên tố lớn nhất của $105$ là $7$. Số nhỏ nhất mà Alex viết ra và lớn hơn hoặc bằng $2026$ là bao nhiêu?
Một từ đối xứng là một từ có cách viết giống nhau khi đọc từ trái sang phải và từ phải sang trái. Khi dùng các chữ cái của từ NAADAM, ta tạo được chín từ đối xứng khác nhau:
A, D, M, N, AA, AAA, ADA, AMA, ANA.
Có thể tạo được bao nhiêu từ đối xứng khác nhau bằng các chữ cái trong $11$ chữ cái của MONGOLIA IMC?
Như hình dưới, diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng $408\ \mathrm{cm}^2$. Các điểm $M$ và $N$ nằm trên cạnh $CD$, sao cho $DN:NM:MC=2:3:1$. Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AD$. Nếu diện tích bốn miền tô đậm lần lượt là $a$, $b$, $c$ và $d\ \mathrm{cm}^2$, thì giá trị của $(a+d)-(b+c)$ bằng bao nhiêu?
