Ngân hàng câu hỏi xIMC 2002

Năm chấm lớn trên trục trên biểu thị số học sinh của các trường City Montessori $A,B,C,D,E$ tại Lucknow năm $1992$. Trục dưới biểu thị số học sinh năm $2002$. Trường nào có mức tăng phần trăm lớn nhất?

Nếu $x=\frac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}-\sqrt{a-2b}}$, tìm giá trị của $bx^2-ax+b$.

Biết $x$, cần ba phép tính để tìm $x^8$: $x^2=x\cdot x$, $x^4=x^2\cdot x^2$, $x^8=x^4\cdot x^4$. Năm phép tính đủ tìm $x^{15}$: ba phép đầu như trên, rồi $x^{16}=x^8\cdot x^8$, $x^{15}=x^{16}\div x$. Cần ít nhất bao nhiêu phép nhân và chia để tìm $x^{1000}$?

Cho $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$, với $a,b,c,d$ là hằng số. Nếu $P(1)=10$, $P(2)=20$, $P(3)=30$, tìm $P(10)+P(-6)$.

Hình vẽ là sơ đồ đường phố. Ba cảnh sát phải đứng ở các góc đường sao cho mọi điểm trên mọi con đường đều được ít nhất một người nhìn thấy. Cho biết các chữ cái của ba góc đường đó.

$ADEN$ là hình vuông. $BMDF$ là hình vuông có $F$ nằm trên $AD$ và $M$ nằm trên phần kéo dài của $ED$. Gọi $C=AD\cap BE$. Nếu diện tích tam giác $CDE$ là $6$ cm$^2$, tìm diện tích tam giác $ABC$ theo cm$^2$.

Nếu số có mười tám chữ số $a3640548981270644b$ chia hết cho $99$, có bao nhiêu cặp chữ số $(a,b)$ có thể có?

Mười người đứng thành một hàng. Người đầu đi về cuối hàng, người tiếp theo ngồi xuống, nên người thứ ba ban đầu trở thành người đầu hàng. Lặp lại: chuyển người đầu về cuối, cho người tiếp theo ngồi xuống, đến khi chỉ còn một người đứng. Người đó ban đầu đứng ở vị trí nào?

Trong tam giác $ABC$, vẽ các phân giác trong $AD,BE,CF$. Nếu $\angle ABC=120^\circ$, tìm số đo $\angle DEF$ theo độ.

Có bao nhiêu giá trị thực khác nhau của $k$ để tồn tại các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=k$?

$L$ nằm trên đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$, với $AL=3LC$. Gọi $K$ là trung điểm $AB$. Tìm số đo $\angle KLD$ theo độ.

Trong tam giác $ABC$, $\angle CAB=36^\circ$, $\angle BCA=72^\circ$. Lấy $D$ trên $AC$ sao cho $BD$ là phân giác $\angle ABC$. Lấy $E$ trên $AB$ với $CE\perp BD$. Trong hình có bao nhiêu tam giác cân?

Hai số có hai chữ số khác nhau có cùng chữ số hàng đơn vị nhưng khác chữ số hàng chục. Thương khi chia một số cho $9$ bằng số dư khi chia số kia cho $9$, và ngược lại. Chữ số hàng đơn vị chung là gì?

Giải hệ $(x+y)(x+z)=15$, $(y+z)(y+x)=18$, $(z+x)(z+y)=30$.

Trong tam giác $ABC$, $D$ nằm trên $BC$ và $AD$ là phân giác $\angle CAB$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Điểm $E$ nằm trên phần kéo dài của $BA$ sao cho $ME\parallel AD$, và $ME$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $BE=CF=\frac{AB+AC}{2}$.

Cho $m,n,p$ là các số thực. Nếu $a=x^{m+n}y^p$, $b=x^{n+p}y^m$, $c=x^{p+m}y^n$, tìm $a^{m-n}b^{n-p}c^{p-m}$.

Cho $f(x)=\frac{bx+1}{2x+a}$, với các hằng số $a,b$ thỏa mãn $ab\ne2$. (a) Nếu $f(x)f(1/x)=k$ với mọi $x$ thuộc miền xác định, tìm $k$. (b) Chứng minh $f(f(x))$ không phải hàm hằng.

Chứng minh hoặc bác bỏ khả năng ghép một hình chữ nhật bằng số lẻ bản sao của hình đã cho.

Tìm mọi số nguyên khác không $x,y$ thỏa mãn $x\le y$ và $\frac1x+\frac1y=\frac1{14}$.

Bốn anh em chia $137$ đồng vàng, không ai nhận bằng nhau. Số đồng mỗi người nhận là bội nguyên của số đồng người em liền sau nhận. Tìm mọi cách chia.