Một bộ ba có thứ tự gồm các số nguyên dương $(a,b,c)$ được gọi là bộ ba V nếu $a\lt b\lt c$ và thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:
- $a$ là ước của $b+c$;
- $b$ là ước của $c+a$;
- $c$ là ước của $a+b$;
- Tổng của $a$, $b$ và $c$ nhỏ hơn hoặc bằng $2025$.
Cho $x$, $y$ và $z$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$\begin{cases}z^3-x^3-y^3=3xyz,\\x^2+y^2+z^2\le150.\end{cases}$$
Giá trị lớn nhất có thể của $x+y+z$ là bao nhiêu?
Trong hình dưới đây, $ABC$ là tam giác có $AB=13$ cm, $BC=12$ cm và $AC=5$ cm. Bên trong tam giác này, xét hai đường tròn bằng nhau tiếp xúc ngoài với nhau, trong đó một đường tròn tiếp xúc với các cạnh $AB$ và $BC$, còn đường tròn kia tiếp xúc với các cạnh $BC$ và $AC$. Bán kính của mỗi đường tròn dài bao nhiêu xentimét?
Trong hình dưới đây, $ABCD$ là một hình vuông. Cho $E$ và $G$ là hai điểm bên trong hình vuông $ABCD$, còn $H$ là một điểm trên $BC$, sao cho $\angle AEG=\angle EGH=90^\circ$ và $EG=BH$. Nếu $AE=13$ cm và $GH=12$ cm, cạnh hình vuông $ABCD$ dài bao nhiêu xentimét?
Anh và Bao chơi một trò chơi dùng lịch năm 2025. Đầu tiên, Anh chọn một ngày trong tháng Một. Tiếp theo, Bao chọn một ngày muộn hơn trong năm đó, nhưng phải giữ nguyên tháng hoặc ngày trong tháng từ nước đi trước của Anh. Trò chơi tiếp tục tương tự, hai bạn luân phiên đi và ai chọn ngày 31 tháng Mười hai thì thắng. Dưới đây là một ví dụ ván chơi mà Bao thắng:
| Người chơi | Ngày được chọn |
| --- | --- |
| Anh | Ngày 7 tháng Một |
| Bao | Ngày 7 tháng Tư |
| Anh | Ngày 7 tháng Năm |
| Bao | Ngày 19 tháng Năm |
| Anh | Ngày 21 tháng Năm |
| Bao | Ngày 21 tháng Chín |
| Anh | Ngày 21 tháng Mười một |
| Bao | Ngày 30 tháng Mười một |
| Anh | Ngày 30 tháng Mười hai |
| Bao | Ngày 31 tháng Mười hai |
Nếu Anh có chiến thuật chắc thắng, bạn ấy nên chọn ngày nào trong tháng Một ở nước đi đầu tiên?
Cách nhập đáp án: nhập số chỉ ngày trong tháng Một.
Xét một đa giác lồi $2025$ cạnh. Ta vẽ một số đường chéo của nó sao cho mỗi đường chéo được vẽ, không kể hai đầu mút, cắt đúng một đường chéo khác được vẽ. Có thể vẽ nhiều nhất bao nhiêu đường chéo như vậy?
Cho $n$ là một số nguyên bất kỳ với $n\ge2$. Xét tất cả các phân số có dạng $\frac1{pq}$, trong đó $\gcd(p,q)=1$, $0\lt p\lt q\le n$ và $p+q>n$. Chứng minh rằng tổng của tất cả các phân số đó bằng $\frac12$.
Trong hình dưới đây, đường tròn $O$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Đường thẳng $PQ$ cắt đường tròn $O$ tại các điểm $S$ và $R$. Nếu $AR=10$ cm, độ dài của $BR$ bằng bao nhiêu xentimét?
Alex có một con xúc xắc cân đối sáu mặt, trên các mặt ghi các phân số $\frac12$, $\frac32$, $\frac52$, $\frac72$, $\frac92$ và $\frac{11}2$. Ben có một vòng quay được chia thành $n$ phần bằng nhau. Mỗi phần ghi một số nguyên từ $0$ đến $n-1$, mỗi số xuất hiện đúng một lần.
Alex gieo xúc xắc và Ben quay vòng quay cùng lúc. Gọi $p$ là xác suất Ben nhận được số lớn hơn số Alex nhận được. Giá trị nhỏ nhất của $n$ để $p$ không nhỏ hơn $\frac12$ là bao nhiêu?
