2024 InIMC keystage2-EMIC team

Tỉ lệ cản phá của một thủ môn là tỉ số phần trăm giữa số cú sút trúng đích mà thủ môn cản được và tổng số cú sút trúng đích về phía khung thành của mình. Tại một thời điểm trong trận bóng đá, tỉ lệ cản phá của một thủ môn là 75%. Sau khi không cản được ba cú sút trúng đích tiếp theo, tỉ lệ này giảm xuống 60%. Thủ môn cần cản được ít nhất bao nhiêu cú sút trúng đích để đưa tỉ lệ cản phá trở lại mức ít nhất 75%?



Đơn vị trả lời: cú sút.

Số sau:
$$123456789101112131415\cdots444424444344444$$
được tạo bằng cách viết liên tiếp tất cả các số nguyên từ 1 đến 44444 theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải.

Chuỗi “2024” xuất hiện bao nhiêu lần trong số đã cho?



Đơn vị trả lời: lần.

Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ.

Có bao nhiêu thời điểm trong một ngày (từ 00:00 đến 23:59) mà kim giờ và kim phút của một đồng hồ kim (hệ 12 giờ) tạo thành một góc $15k$ độ, với $k$ là số nguyên thỏa mãn $0\le k<24$? (Hình vẽ thể hiện thời điểm 04:30, có góc $15^\circ\times3=45^\circ$)





Đơn vị trả lời: thời điểm.

Trong hình dưới, $ABC$ là một tam giác, điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$, điểm $N$ nằm trên cạnh $BC$ và $MN\parallel AC$. Cũng biết rằng $P$ là trung điểm của $BN$ và $BN:PC=2:5$. Nếu diện tích tam giác $MBP$ bằng 1 cm², thì diện tích tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu cm²?





Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ.

Từ cột 1 đến cột 7 của bảng dưới được điền từ trái sang phải rồi tiếp tục xuống các hàng dưới bằng các số nguyên dương bắt đầu từ “1”, theo thứ tự tăng dần và bỏ qua mọi bội của 5 hoặc 7.



Trong bảng gốc, “column” nghĩa là cột và “row” nghĩa là hàng.

Nếu 2024 nằm ở hàng $x$ và cột $y$, thì giá trị của $x+y$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC>AB$. Lấy điểm $M$ trên tia $BA$ sao cho $BM=AC$. Lấy điểm $N$ ở ngoài tam giác $ABC$ và trên tia $AC$ sao cho $CN=AM$. Nếu tia $MC$ cắt $BN$ tại $P$, số đo của $\angle MPB$ bằng bao nhiêu độ?





Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ.

Ở giữa một khu vườn có một ki-ốt hình lục giác đều. Để đến ki-ốt có một lối đi xoắn ốc dẫn sát tới một cạnh của lục giác. Để tạo lối đi, người xây dựng dùng một cách thú vị. Ông quấn một sợi dây ngược chiều kim đồng hồ quanh ki-ốt và dùng bút chì gắn ở đầu dây để vẽ mép ngoài của lối đi, bắt đầu từ một đỉnh của lục giác. Sau đó ông tháo dây theo chiều kim đồng hồ để vẽ mép trong. Quy trình tương tự được lặp lại, bắt đầu từ đỉnh tiếp theo của lục giác, như hình dưới. Nếu mỗi cạnh ki-ốt dài 6 mét, tổng diện tích lối đi đến ki-ốt (phần tô màu trong hình, không gồm ki-ốt) bằng bao nhiêu m²? (Lấy $\pi=\frac{22}{7}$)



Chú thích gốc: “Kiosk” là ki-ốt; “1st vertex” đến “6th vertex” lần lượt là đỉnh thứ nhất đến đỉnh thứ sáu.

Một máy tính đặc biệt có ba lệnh (A, B và C) để thay đổi số đang hiển thị trên máy.

Ba lệnh như sau:

- Lệnh A: Thêm chữ số 2 vào tận cùng bên phải của số.
- Lệnh B: Thay số bằng tổng tất cả các chữ số của nó.
- Lệnh C: Thay mỗi chữ số $d$ của số bằng chữ số $10-d$, ngoại trừ 0 vẫn được thay bằng 0. (Ví dụ, 1085 trở thành 9025.)

Ví dụ, đây là cách đi từ 20 đến 82 trong 3 bước



Nếu ban đầu máy tính hiển thị số 26, hãy trình bày từng bước để máy hiển thị 99 bằng đúng sáu lệnh.



Các nhãn “1st command” đến “6th command” nghĩa là lệnh thứ nhất đến lệnh thứ sáu.

Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ.

Ann và Bob chơi một trò chơi, lần lượt di chuyển một quân trên lưới. Ann đi trước. Mục tiêu là đưa quân đến ô góc dưới bên trái.

Trong một lượt, người chơi phải thực hiện đúng một trong hai hành động sau:

- Di chuyển quân sang trái một hoặc nhiều ô.
- Di chuyển quân xuống dưới một hoặc nhiều ô.

Tuy nhiên, **KHÔNG ĐƯỢC** đưa quân vào hoặc đi qua ô tô màu.

Ann có một “ô thắng” nếu khi bắt đầu với quân ở ô ấy, và cả Ann lẫn Bob đều chơi tối ưu, Ann có chiến thuật chắc thắng. Ngược lại, ô ấy được gọi là “ô thua”. Ví dụ, trong hình dưới, ô $L$ là ô thua của Ann vì lựa chọn duy nhất của cô là đi xuống 1 ô, sau đó Bob có thể thắng bằng cách đi sang trái 3 ô. Ô $W$ là ô thắng của Ann vì Ann có thể đi sang trái 1 ô, buộc Bob đi xuống 1 ô. Sau đó Ann có thể thắng bằng cách đi sang trái 3 ô.



Trong lưới $8\times8$ dưới đây, Ann có bao nhiêu ô thắng?





Đơn vị trả lời: ô thắng.

Mỗi ô vuông của một lưới vô hạn đã được điền đúng một chữ số. Elsa đặt một tetromino hình O lên lưới, phủ bốn ô theo các đường lưới:



Số chữ số khác nhau ít nhất cần dùng để điền lưới vô hạn sao cho bốn ô luôn có các chữ số khác nhau, bất kể vị trí tetromino hình O, là 4. Lưới ở bên phải là một ví dụ về cách điền như vậy.



Khi Elsa đặt một tetromino hình T lên lưới, phủ bốn ô theo các đường lưới, số chữ số khác nhau $n$ ít nhất phải dùng cho lưới vô hạn để bốn ô được tetromino phủ luôn có các chữ số khác nhau là bao nhiêu?

Tetromino hình T có thể được lật hoặc quay.



(Chú ý: Phải giải thích vì sao dùng $n-1$ chữ số khác nhau là không đủ và cho một ví dụ điền lưới để chứng minh dùng $n$ chữ số là đủ.)



Dòng trả lời gốc yêu cầu ghi số chữ số và cách điền.

Yêu cầu của đề thi: Trình bày lời giải đầy đủ.